Занятие кружка для учащихся 9 классов

«Метод масс при решении геометрических задач»

Солдатова Светлана Анатольевна

учитель математики высшей категории

МОУ Угличский физико-математический лицей

Цели и задачи:

1. Образовательная: познакомиться с теорией способа решения задач методом геометрии масс, повысить уровень культуры решения геометрических задач.

2. Воспитательная: формировать личностные качества: сосредоточенность и внимание; настойчивость в достижение цели.

3. Развивающая: развивать познавательные интересы в процессе решения геометрических задач и поиска рационального решения, умения владеть математической терминологией, умения применять знания, полученные на других предметах, правильно и четко выражать мысль.

В школьном курсе математики тема «Геометрия масс» не рассматривается. Решения задач на отношение длин при решении обычными методами получаются достаточно объёмными. Данный метод необходим для рационального решения задач.

Родоначальником метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в. до н. э. он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс.

В частности, этим способом им была установлена теорема о том, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Соображения Архимеда были позднее использованы и развиты многими геометрами (Папп, Чева, Гюльден, Люилье и др.).

1. Понятие центра масс

Чтобы понять, что такое центр масс, рассмотрим детские качели (рис.1).

рис.1

Многие замечали, что более тяжелый ребёнок перевешивает.

Но стоит ему начать приближаться ближе к центру, как качели постепенно приходят в равновесие. Насколько ближе он должен подвинуться ответит метод масс. Переведём задачу на язык математики

Пусть качели – отрезок AB, где m1, m2 – массы, расположенные на концах качелей (m1 >m2).

Центром масс данной системы двух точек будет такая точка О данного отрезка АВ, что АО·m1 = BO·m2, или = .

Чтобы найти центр масс системы из двух точек, надо всего лишь разбить отрезок в отношении, обратно пропорциональном массам точек.

Пример: Пусть масса, расположенная в точке A равна 400г, а масса в точке B равна 1400г (см. рис). Найти центр масс данного отрезка.

Решение: из определения центра масс получаем, что точка O делит отрезок AB в отношении = . Значит центр масс O делит отрезок так, что 7*АO = 2*BO.

Принцип центра масс является ничем иным, как законом рычага, с помощью которого Архимед собирался перевернуть Землю.

2 Центр масс системы точек

Теперь найдём центр масс треугольника. В точках A, B, C расположены массы m1, m2, m3 (см. рис 1).

Если нам дана система из нескольких точек с массой в каждой из них, то если любую пару точек заменить их центром масс, центр масс исходной системы не изменится.

Таким образом центр масс нашего треугольника (точка D) будет совпадать с центром масс точек O (центр масс для точек A и B) и C (рис.2).

Пример: Дан треугольник ABC с массами mA = mB = mC = 1 в вершинах. Найти центр масс треугольника.

Решение: Для начала найдём центр масс точек A и B. Это точка М, которая расположена в середине отрезка AB, т.к. на его концах одинаковые массы. В точке М сосредоточена масса 1+1=2.

Значит центр масс треугольника ABC совпадает с центром масс отрезка MC и делит отрезок в отношении 2:1 . Мы доказали, что в треугольнике с одинаковыми массами в вершинах его центр масс расположен на медиане и делит её в отношении 2:1. Аналогично можно найти центр масс на медианах BN и AK. Однако у треугольника только один центр масс, а значит мы все три раза попадали в одну точку. Так мы доказали, что медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1 .

3 Задачи на применение центра масс

Задача 1: Дан треугольник ABC (рис.4). BM – медиана, а AN делит сторону BC в отношении 1:2 от вершины B и пересекается с BM в точке O. Найти отношение BO:OM.

Решение: Расположим в вершинах A и C массы, равные 1, а в вершину B – массу, равную 2. Тогда точка M – центр масс для точек A и C, и концентрирует массу, равную 2. Точка N – центр масс отрезка BC, т.к. BN:NC=1:2 (из условия), а mB:mC=2:1.

Предположим, что точка O – центр масс для отрезка BM. Тогда она является и центром масс для всего треугольника ABC и концентрирует в себе массу 2+2=4. Если O – центр масс треугольника, то здесь же и центр масс отрезка AN. Проверим это. В точке A сконцентрирована масса 1, в точке N – 3, а в точке O – 4.

1+3=4 , следовательно, O – центр масс отрезка AN и всего треугольника. Тогда отношение BO:OM = 2:2 = 1.

Ответ: BO = OM.

1. Дан треугольник АВС, на стороне АС взята точка Е так, что АЕ : ЕС = 2: 3, а на стороне АВ взята точка D так, что АD : DB = 1: 4 . Проведены отрезки СD и ВЕ. Найдите отношение площади получившегося четырехугольника к площади данного треугольника.

2. В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 7 : 3 . Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади четырёхугольника KPCM.

3. В треугольнике АВС проведены чевианы ВМ и АN так, что ВN: NC=2:3, а АМ: МС=2:1. Найти ВО:ОМ и АО:ON, где О – точка пересечения чевиан.

4. В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка D так, что BD : DC=1:2. Медиана СЕ пересекает отрезок АD в точке F. Какую часть площади треугольника АВС составляет площадь треугольника АЕF?

5. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.

6. В треугольнике АВС проведены чевианы ВМ и АN так, что ВN: NC=4:3, а АМ: МС=2:3. Найти какую часть площади АВС составляет площадь СМОN.

Использованная литература:

1. М.Б. Балк, В.Г.Болтянский. Геометрия масс. Москва: Наука, 1987.

2. Математика в школе , №8, 2014

3. Материалы сайта https://sdamgia.ru/