Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Лянторская средняя общеобразовательная школа №4»

Олимпиадные задания, ответы и решения

по предмету математика

для учащихся 5-9 классов

(школьный этап)

Пивоварова Татьяна Геннадьевна,

учитель математики

Задания

5 класс

1. Вы видите три числа, подписанных одно под другим:

111

777

999

Надо зачеркнуть шесть цифр так, чтобы оставшиеся числа составили в сумме 20.

2. Расшифруйте запись: + О Х О Х О

А Х А Х А

А Х А Х А Х

3. Имеются два сосуда вместимостью 17 литров и 5 литров. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 13 литров воды?

4. Хвост рыбы весит 4 кг, Голова весит столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище – столько, сколько голова и хвост. Сколько весит вся рыба?

Ответы и решения.

5 класс

1. Ответ: 011

+000

009

020

2. Ответ: 90909 +10101 = 101010.

2.Решение. Решение задачи задаётся числовым выражением:

5 – (17 – 5 – 5 – 5) + 5 + 5.

4. Ответ: 32 кг.

Решение. Хвост (Х). Голова (Г). Туловище (Т).

Х=4кг; Г =4кг + 0,5Т; Т = Г + 4кг. Г = 4кг + 0,5(Г+4кг);

2Г = 8кг + Г + 4кг; Г = 12кг; Т = 16кг.

Масса рыбы: 4+12+16 = 32(кг).

Ответ: 32 кг.

6 класс

Задания

1. Расшифруйте запись: + В А Г О Н

В А Г О Н

С О С Т А В

2. Когда внук спросил у дедушки, сколько ему лет, дед ответил: «Если я проживу ещё половину того, что я прожил, да ещё 1 год, то мне будет целый век». Сколько лет дедушке?

3. На каждой из двух прямых отметили по четыре точки. Укажите наибольшее количество треугольников с вершинами в этих точках? Ответ обосновать.

4. В лесу проводился кросс. Обсуждая его итоги, одна белка сказала: «Первое место занял заяц, а второй была лиса». Другая белка возразила: «Заяц занял второе место, а лось был первым». На что филин заметил, что в высказывании каждой белки одна часть верная, а другая – нет. Кто был первым, а кто вторым в кроссе?

Ответы и решения.

6 класс

1. Ответ: 85679 + 85679 = 171358.

2. Ответ: 66 лет.

Решение. Пусть дедушке х лет. Составим уравнение: х + 0,5х +1 = 100; х = 66.

3. Ответ: 48 треугольников.

Решение. Пусть на одной отмечены точки А, В, С и D. Количество отрезков можно подсчитать, используя дерево возможностей:

А В С D

/ | \ / | \ / | \ / | \

B C D A C D A B D A B C

Отрезки АВ и ВА совпадают и т.д. Т.о., на одной прямой 6 отрезков, на другой 4 точки, всего 24 треугольника. Аналогично ещё 24 треугольника.

4. Ответ: Лиса заняла второе место, а лось - первое.

Решение Запишем коротко высказывания двух белок:

1-я белка: «Заяц - I», «Лиса - II».

2-я белка: «Заяц - II», «Лось - I».

Если предположить, что высказывание «Заяц - I» верно, то оба высказывания 2-й белки будут не­верными, а это противоречит условию задачи. Значит, высказывание «Заяц - I» не может быть верным, тогда Лиса заняла второе место, а Лось - первое.

7 класс

Задания

1. Трёхзначное число на 125% больше двузначного числа, составленного из его двух последних цифр. Найдите это трёхзначное число.

2. Школа Пифагора. Тиран острова Самос Поликрат однажды спросил у Пифагора, сколько у того учеников. “Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь ещё к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины”.

Сколько учеников ведёт к рождению вечной истины Пифагор?

3. К числу 10 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 72.

4.Разрежьте квадрат на 5 прямоугольников так, чтобы два прямоугольника не имели бы более одной общей вершины

5. В трёх ящиках лежат орехи. В первом ящике на 6 кг орехов меньше, чем в двух других вместе. А во втором - на 10 кг меньше, чем в двух других вместе.

Сколько орехов в третьем ящике?

Ответы и решения.

7 класс

1. Ответ: 180.

Решение. 100%+125%=225%, 225% =9/4 двузначного числа. Т.е. двузначное число должно делиться на 4, а при умножении на 9 частного от деления должно получаться трёхзначное число.

2. Ответ: 28.

Решение. Пусть у Пифагора было х учеников. Составим и решим уравнение:

х/2 + х/4 + х/7 + 3 = х

14х+7х+4х+84=28х

3х=84

х=28.

3. Ответ: 4104.

Решение. 72 – произведение чисел 8 и 9.Используя признак делимости на 8, справа приписываем цифру 4, по признаку делимости на 9 слева приписываем цифру 4.

4. Ответ:

5. Ответ: 8 кг орехов

Решение. Соединим оба заданных условия и получим следующее утверждение: «В первом и втором ящиках орехов на 6 кг+10 кг ­меньше, чем в первом, втором и двух третьих». Отсюда следует, что в двух третьих ящиках 16 кг орехов, то есть в третьем 8 кг орехов.

8 класс

Задания

1. У первоклассника Феди в кассе цифр есть только единицы, шестёрки, четвёрки и девятки. Он составил из них 2 числа. Может ли одно них быть ровно в 17 раз больше другого? (ответ обосновать)

2. Постройте график функции

3. Сократите дробь

а⁴ – b⁴ + 64 – 16 а²

(а + b)² – 8 – 2аb

и найдите её значение при а = 37 и в = 27, не прибегая к письменным вычислениям.

4. Найдите углы прямоугольного треугольника, если угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 15^О.

5. Пришел Иван-царевич в подземелье к Кащею Бессмертному Василису Прекрасную освобождать. В подземелье 3 темницы. В одной из них томится Василиса, в другой расположился Змей Горыныч, а третья темница пустая. На дверях есть надписи. но все они ложные. На первой темнице написано «Здесь Василиса Прекрасная»; на второй темнице «Темница № 3 не пустая», на третьей темнице написано «Здесь Змей Горыныч». В кой же темнице Василиса?

8 класс

Ответы и решения

1. Ответ: не может.

Решение. У Феди есть только 1, 4, 6, 9. Если число а заканчивается на 1, 4, 6, 9, то произведение числа а на 17 заканчивается на 7, 8, 2, 3. А таких цифр в кассе нет.

2. Ответ: прямая у = 0,25 х , с выколотой точкой (3; 0,75).

Решение. После преобразования получаем функцию у = 0,25 х,

при х Є (-∞; 3 ) U (3; +∞ ).

3. Ответ: а² – 8 – b²; 632.

Решение

Числитель: а⁴ – b⁴ + 64 – 16 а² = ( а⁴– 16 а² + 64 ) – b⁴ = (а² – 8 )² –( b²)² = (а² – 8 – b²) (а² – 8 + b²).

Знаменатель: (а + b)² – 8 – 2аb = а² + 2аb + b² – 8 – 2аb = а² + b² – 8.

а² – 8 – b² = (а – b) (a + b) – 8 = (37–27) (37 + 27) – 8 = 632.

4. Ответ: 30^О, 60^О, 90^О.

Решение.

1. Угол РСА равен 45^О, т.к. СР биссектриса прямого угла.

2. Угол КСА равен 30^О (45^О – 15^О = 30^О).

3. Угол КАС равен 60^О (из прямоугольного треугольника прямоугольного АСК).

4. Угол СВА равен 30^О (из прямоугольного треугольника прямоугольного АВС).

5. Ответ: во второй темнице.

Решение. Василиса не может быть в первой темнице, значит, она во второй или третьей темнице. Так как третья темница пустая, Василиса будет во второй темнице.

9 класс

1. К числу 10 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 72.

2. Известно, что 1/х₁ +1/х₂ = 0,5, где х₁ и х₂ – корни уравнения х² +х + b = 0. Найдите b.

3. В прямоугольный треугольник с катетами 2см и 6см вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите периметр квадрата.

4. Автомобиль едет сначала 2 мин с горы, а затем 6 мин в гору. Обратный путь он проделывает за 13 мин. Во сколько раз скорость автомобиля при движении с горы больше, чем скорость при движении· в гору? (Считайте, что скорость при движении с горы (в гору) одинакова в обоих на­правлениях.)

5. В трех урнах лежат шары: в одной – два белых, в другой - два черных, в третьей - белый и черный. На урнах висят таблички: ББ, ЧЧ и БЧ так, что содержимое каждой из урн не соответствует табличке. Как, вытащив один шар, определить, в какой урне какие шары лежат?

9 класс

Ответы и решения

1. Ответ: 4104.

Решение. 72 – произведение чисел 8 и 9.Используя признак делимости на 8, справа приписываем цифру 4, по признаку делимости на 9 слева приписываем цифру 4.

2. Ответ: -2.

Решение. По теореме Виета х₁ + х₂ = - 1 и х_1* х ₂ = b. После преобразования выражения 1/х₁ +1/х₂ = 0,5, имеем 2(х₁ + х₂ ) = х_1* х _2.

Решаем уравнение: 2 _* (-1) = b, b = - 2.

3. Ответ: 6 см.

Решение.

Обозначим сторону квадрата за х. Треугольники ADE и EFB подобны по двум углам, отсюда имеем: (2 - х): х = х: (6 – х). Решив уравнение, получим х = 1,5(см). Р = 6_* 1,5 =6 (см).

4. Ответ: 6.

Решение. Пусть скорость автомобиля при движении с горы равна х км/мин, а при движении в гору - у км/мин. Тогда на пути туда автомобиль едет с горы с горы 2х км, а в гору - 6у км.

На обратном пути расстояние 6у км (т.е. путь с горы) автомобиль преодолевает за . 6у /х мин, а расстояние 2х км (т.е. путь в гору) – за 2х/у мин. Всего обратный путь занимает 13 мин. Получаем уравнение:

6у /х + 2х/у = 13.

Из этого уравнения нужно найти отношение х/у. Введя замену х/у = t, получим уравнение с одной переменной: 2t + 6/t = 13. Решив его, найдем, t₁= 6, t₂ = 0,5. Так как скорость автомобиля при движении с горы больше, чем при движении в гору, то подходит только корень t₁= 6 Таким образом, х/у = 6.

5. Решение. Вытащим шар из урны с надписью БЧ.

Если вытащенный шар окажется белым, то в этой урне лежат два белых шара, в урне с надписью ББ не может быть белого и черного шаров, поскольку при этом в урне с надписью ЧЧ содержимое совпадает с надписью. Делаем вывод о том, что в урне с надписью ББ лежат два черных шара, а в урне с надписью ЧЧ лежат два шара разных.

Если вытащенный шар окажется черным, то в урне с надписью БЧ лежат два черных шара, в урне с надписью ЧЧ лежат два белых шара, а в урне с надписью ББ лежат два шара разных цветов.