МБОУ ”Средняя общеобразовательная школа № 37 с углубленным изучением отдельных предметов”.

Название статьи: “Разговорные задачи по геометрии”.

Автор: Молочкова Татьяна Владимировна

учитель математики и информатики

I квалификационной категории.

г. Каменск-Уральский

2015 г.

Речь в этой статье пойдёт о геометрии, но не только о ней. Проблема, поднимаемая здесь шире, она касается математики в целом, и, вполне вероятно, других предметов тоже. Речь пойдёт о владении школьниками терминологией предмета. Геометрия – один из наиболее подходящих разделов математики, чтобы об этом поговорить, поставить проблемы, предложить способы их решения и т.п.

Геометрия (точнее, геометрия классическая, аналитическую и дифференциальную геометрии мы не рассматриваем) – наука наглядная, она имеет дело с реальными фигурами (на плоскости) и телами (в пространстве), которые изучались веками, про которые написаны трактаты, где доказано множество оригинальных, красивых теорем, найдено огромное количество закономерностей. Естественно, что было введено огромное количество понятий, многие из них прочно вошли в математическую речь, с их помощью формулируются факты и теоремы, зачастую теоремы именные. Конечно, в школе даются не все эти понятия (и уж тем более не все факты, известные человечеству), даётся некий общекультурный минимум, который грамотный человек просто обязан знать, также, как, например, должен знать, что такое ямб и хорей, и чем они отличаются.

Однако современные школьники в большинстве своём и ямб от хорея отличить не могут, и призму с пирамидой путают, и медиану с биссектрисой. А уж о том, чтобы математически грамотно изложить решение геометрической задачи (зачастую, кстати, верное), иным школьникам остаётся только мечтать. Не удивительно, что среди вопросов, которые часто задают нам и ученики, и учителя одним из наиболее частых является вопрос об оформлении решения. В алгебре с этим проще: там большинство задач решается по готовому алгоритму, как описывать такое решение знают все, во всех учебниках присутствуют примеры, так что особых трудностей с оформлением решения, например, логарифмического неравенства не возникает.

А что с геометрией? Что, неужели нигде не описано, как надо оформлять задачи, нет примеров оформления? Конечно, есть и то, и другое, есть во всех нормальных учебниках. Вот только в большинстве своём оформление решения являет собой текст на русском языке, своего рода мини-изложение, где некоторые слова и фразы заменены математическими значками. Написать такое решение может только грамотный (математически и литературно) человек, коим средний школьник не является. Написать же решение сплошными математическими значками можно (когда-то в далёкие 70-е годы нас так и учили), но это ещё сложнее и уж точно получается менее наглядно. Так что, скорее всего, правильно, что в нынешней школе этого не требуют. Правда, теперь возник вопрос, что значит правильно оформленное решение. Можно, конечно, написать огромный свод правил, как можно писать, и как нельзя, и штрафовать понижением оценки за их несоблюдение (когда-то по такому принципу оценивались работы медалистов). Сейчас, слава Богу, так не делается. Какие-то правила, разумеется, остались, те, которые соответствуют духу математики и здравому смыслу. Запомнить все эти правила вряд ли можно, и уж точно не нужно. Достаточно понимать следующее: математическая работа оформлена верно, если читающий её ОДНОЗНАЧНО понимает то, что хотел написать автор работы. А уж написана ли работа при помощи коротких математически выверенных фраз или представляет собой пространное эссе – дело второстепенное.Отметим здесь же, что понятие правильного решения никак не связано с понятием правильного его оформления. Можно абсолютно правильно оформить неверное решение (и получить за него заслуженную двойку), можно и наоборот, верное решение оформить настолько неверно, что за него будет получена та же двойка, что, конечно, весьма обидно, но, наверно, справедливо.

Проблема состоит в том, что ни языком формул, ни русским языком (даже с использованием молодёжного сленга и русского мата) большинство школьников не в состоянии изложить свои мысли так, чтобы быть однозначно и верно понятыми. Мы не будем касаться в этой статье проблем, связанных с недостаточным знанием русского языка и малым опытом написания сочинений и изложений, оставив сей аспект для преподавателей русского языка и литературы. Мы коснёмся исключительно предметной составляющей, собственно геометрии.

Не секрет, что для правильно построенной речи (не важно, письменной или устной) необходимо свободное владение понятийным аппаратом. В геометрии это означает чёткое понимание геометрических терминов, видения связи между ними, знание формулировок фактов и теорем по сути, а не формально. Увы, этому учат не всегда. Неоднократно доводилось слышать, например, как на просьбу сформулировать теорему Пифагора ученик выдавал что-нибудь типа «а квадрат плюс бэ квадрат равно цэ квадрат», совершенно не представляя, что стоит за обозначениями «а», «бэ» и «цэ». Ясно, что при таком подходе могут возникать (и реально часто возникают) ошибки при применении такой теоремы. Разумеется, грамотные учителя требуют, а грамотные ученики знают нормальную формулировку: «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Забавно то, что и в такой, абсолютно точной формулировке, у школьников порой возникает недопонимание. Так, хотя любому ясно, что речь в теореме идёт о прямоугольном треугольнике (а где ещё бывают катеты и гипотенуза), некоторые ученики пытаются применить эту теорему для непрямоугольных треугольников. Конечно, такая ошибка не очень распространена, но и не столь уж редко встречается. Причина проста: в голове школьника нет ассоциации катет (или гипотенуза) – значит, треугольник прямоугольный.

В этой статье будет рассмотрен один из вариантов работы со школьниками, направленный на понимание терминологии геометрии, запоминанию логических связей между геометрическими объектами, обучению геометрическому языку, и, как следствие, грамотному оформлению геометрических задач в части «II» ОГЭ и в части «С» ЕГЭ. Это – один из возможных вариантов, панацеей он не является, он не может полностью заменить другие методы, направленные на решение тех же проблем. Однако внимания он заслуживает по крайней мере, по двум причинам. Во-первых, он универсален: его легко подстроить под любой уровень ученика (класса, рабочей группы и т.п.), учесть уровень знаний, подготовки, возраст. Кроме того, годится при изучении любой темы: параллелограмм, окружность, сечения многогранников и пр. Во-вторых, метод групповой работы, более того, метод игровой. А игра – мощный стимулятор для того, чтобы заниматься предметом. Стимулятор даже для взрослых, а для школьников особенно.

Итак, игра. Сначала опишем суть игры, а затем её некоторые модификации. А суть такова: школьнику даётся карточка с геометрической картинкой и требуется описать эту картинку словами с использованием математических терминов. Картинки могут быть разного уровня сложности, от очень простых, даже тривиальных, до весьма и весьма сложных. Вот одна из простейших картинок: нарисовано два одинаковых равнобедренных треугольника между которыми стоит стрелка «тогда и только тогда». На одном треугольнике отмечены равные стороны, на втором – равные углы. От игрока требуется воспроизвести фразу «треугольник является равнобедренным тогда и только тогда, когда углы при его основании равны».

Заметим, что пока игры никакой нет, есть некое задание, карточки для которого учитель может приготовить дома и проводить по которым часть урока. Что ж, и такой вариант работы может оказаться полезным. Но куда интереснее организовать процесс в виде соревнования. Например, так: класс разбивается на команды, каждая из команд получает один и тот же набор из нескольких карточек и ограниченное время на написание требуемых фраз. Команды в письменном виде сдают ответы, эти ответы оцениваются баллами. Побеждает команда, набравшая больший суммарный балл. В примитивном варианте так: написана точная фраза – получи 1 балл, нет – не получи. В более сложном: точная формулировка – 3 балла, формулировка с погрешностями – 1 или 2 балла в зависимости от степени погрешности, отсутствие фразы или совсем неправильная фраза – 0 баллов. Возможны и иные способы разбалловки, например, можно премировать те команды, которые на выполнение задание затратили меньше времени.

Другой вариант той же игры таков. От каждой команды вызывается по игроку, им дают по карточке (каждому свою), на которых изображён некий геометрический объект (в более сложном варианте теорема). Также имеется список слов, которые этот игрок НЕ имеет права произносить. Игрок должен словами (без использования средств рисования или, скажем, пантомимы) объяснить своей команде, что там нарисовано. Время засекается в тот момент, когда ученик начал свой рассказ. Как только кто-то из команды понимает, о чём речь и высказывает это вслух, рассказчик говорит: «верно» и время останавливается. Команда, затратившая на рассказ меньше времени, побеждает. Например, у рассказчика на листочке изображён прямоугольный треугольник с обозначениями вершин и отмеченным прямым углом, и написана теорема Пифагора для данного треугольника. При этом запрещены слова: «Пифагор», «катет», «гипотенуза», «квадрат», «прямоугольный треугольник». Школьник должен описывать картинку до тех пор, пока от команды не получит фразу «теорема Пифагора». Как угодно, лишь бы его поняли. Например, так: «Одна из известнейших теорем древнего грека о треугольнике со сторонами 3, 4, 5». Если команда и после этого не даёт верный ответ, это очень печально, но для игры даже лучше, ибо заставит рассказчика придумывать какое-то другое описание. Более простой рисунок: нарисована равнобедренная трапеция (и именно этот термин должна выдать команда), при этом докладчику запрещены слова «трапеция», «равные (одинаковые) стороны», и «параллельный». В качестве одного из возможных вариантов описания подойдёт такой: четырёхугольник, отличный от параллелограмма, площадь которого равнаполусумме оснований, умноженной на высоту и около которого можно описать окружность. Однако этот вариант простым не назовёшь. Можно ли проще? Наверно, да. Подумайте, как.

Для более продвинутых школьников можно предложить разбиться на две команды и на первом этапе самим составить карточки для команды противников. Далее от команды противника выходит докладчик, ему выдаётся одна из ещё не играемых карточек. Может оказаться, что докладчик и сам не поймёт, что он должен услышать от команды, поэтому слово «верно» должен говорить не он, а представитель команды, составляющей карточку. Можно (и это даже честнее) договориться, что докладчику на карточке напрямую пишут, какую фразу он должен услышать, однако с обучающей точки зрения полезнее, чтобы он догадывался до этого сам. Команды каждый раз меняются ролями, докладчики не повторяются. Игра завершается либо по времени, либо с истечением заготовленных карточек.

Те из математиков, кому знакома игра «шарады» или её модификация «крокодил», без сомнения признают, что описанная игра по сути является тематической модификацией этих игр, модификацией, направленной на умение излагать геометрические факты математическим, а, значит, нормальным, человеческим языком. Кроме того, легко видеть, что игра стимулирует различный взгляд на одни и те же объекты, т.е. заставляет думать и анализировать. А это главное в преподавании математики – научить человека мыслить.

В заключении отметим, что есть такая хорошая книжка автора Акопяна: геометрия в рисунках. В ней изложены формулировки большого числа теорем, основная масса которых в школе не проходится совсем. При этом никаких словесных формулировок в книге нет, одни чертежи. Это – прекрасный материал для подготовки карточек к описанной игре.

Список использованной литературы:

1. Пиаже Ж. Речь и мышление ребенка. Москва. Издательство «Римис» 2008.г. 448 стр.

2. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. – Части I, II. – М.: Наука, 1986.

3. Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии. – М.: Наука, 1989.

4. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Часть 2. Геометрия (Планиметрия). – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952.

5. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (стереометрия). – 2-е изд. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954.