Изучение процентов
«ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ»
Автор:
Кобышева Генриетта Ильинична,
учитель математики
Жутовской второй средней школы
с. Жутово-2 Октябрьского района
Волгоградской области
2014 год.
Задачи на проценты — трудная для учащихся тема.
Применяя технологию укрупнения дидактических единиц (УДЕ) П. Эрдниева, можно изучить три вида задач на проценты одновременно. Это экономит время примерно на 20% и дает качество знаний примерно на 65-70%.
В программе предусмотрено изучать «Проценты», потом «Пропорции». У учащегося возникают трудности:1) ему надо запомнить название типа задач;
2) знать правила нахождения % от числа, числа по его % и находить % отношения.
По УДЕ всё — в одной главе: «Отношение. Пропорция. Процент», причем решение любого вида задач на % сводится к единообразному алгоритму составления пропорции, основанному на следующей цепочке операций:
-
Напиши условие задач
-
В левом верхнем углу напиши 100%
-
Напиши % под %
-
Заполни таблицу числами, искомую величину обозначь буквой.
-
Составь уравнение (пропорцию) и реши его (найди неизвестный член пропорции).
100% -
% -
100% -
2 % -
100% - 50р.
2% - Хр.
100 = 50
2 Х
100*Х=2*50
Х=2*50
100
Х=1.
Фрагменты из урока
I. Изучение нового материала
Зная, что в классе 30 учащихся и девочек 18, составь задачу.
Запишем схему задачи: 30,18,
Составь условие задачи.
В 6 классе 30 учащихся. Девочек 18
Сколько % от числа всех учащихся
составляют девочки?
Тип задачи |
Нахождение % отношения |
Нахождение числа по % |
Нахождение % от числа |
Схема задачи |
30,18, |
,18, 60% |
30, ,60% |
Условие задачи |
В классе 30 учащихся. Девочек — 18. Сколько % от всех учащихся составляют девочки? |
В классе 18 девочек, что составляет 60% всех учащихся класса. Сколько учащихся в классе? |
В классе 30 учащихся. Девочки составляют 60% от всех учащихся класса. Сколько девочек в классе? |
Напишем в левом верхнем углу 100%, а рядом напишем соответствующее число |
100% - 30 Х% - 18 |
100% - У 60% - 18 |
100% - 30 60% - Z |
Составим пропорцию |
100 =30 Х 18 |
100=У 60 18 |
100=30 60 Z |
Найдем неизвестный член пропорции |
Х=100*18 30 |
У=100*18 60 |
Z= 60*30 100 |
Ответ |
Девочки составляют 60 % от всех учащихся |
В классе 30 учащихся |
В классе 18 девочек |
Эта таблица не дается учащимся сразу, а заполняется постепенно. После заполнения 1 колонки дается задание:
а) Составь обратные задачи по схемам 30,18, ;. , 18, 60%
30, , 60%.
б) Сформулируй обратные задачи
в) Запиши составленные задачи
г) Реши их.
Итак, рассмотрено 3 типа задач.
Попробуем им дать названия.
Вспомним схему, которой пользовались при решении задач на приведение к единице:
1 -
-
Закрывая последовательно «окошки», даем название типам задач: нахождение части от числа; нахождение числа по его части.
По аналогии: замени слово «часть» словом «процент».
-
Закрепление новых знаний.
-
Составь и реши по рисунку взаимно обратные задачи
Прямая Обратная
100% - 100% - Х
60% - У 60% -
|
|
|
|
|
|
|
|
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ |
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ |
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ |
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ |
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ |
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ |
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ |
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ |
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ |
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ |
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ |
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ |
|
|
|
|
По схеме определи тип задачи, запиши схемы в соответствующие колонки таблицы, составь и реши задачи к данным схемам:
Нахождение процентов от числа |
Нахождение числа по процентам |
Нахождение процентного отношения |
100% - 5.4 30% - Х |
100% - Хр 7% - 21р |
100% - 368т А% - 14,72т |
100% - 500км 56% - Хкм |
100% - Уц 30% - 1,62ц |
100% - 165м У% - 10м |
III. Переход к решению задач.
1.№ 372, стр.249.
а). Вес тела на Луне составляет 16% веса этого же тела на Земле. Сколько будет весить на Луне космонавт, если на Земле он весит 70кг.?
б). Составьте и решите обратную задачу на нахождение числа по его проценту:
100% - Хкг(Земля)
16% - 11,2 кг (Луна)
в). Вычисли свой вес на Луне.
2.№ 376(стр.251). В личной библиотеке было 400 единиц хранения. Из них 64 книги по математике, 240 — художественные, остальные - «Огонек».
Сколько процентов книг составляют книги по математике, художественные, «Огонек» отдельно. Изобрази рисунком.
б) По рисунку составь задачу на движение
IV. Сравнение способов решения задач на проценты
(задачи записать рядом)
Задача. С цены товара была сделана скидка 12р., что составило 15% первоначальной цены товара. Чему равна первоначальная цена? Сколько стоит товар после уценки? Реши с помощью пропорции и приведением к единице.
Способ I (пропорцией) |
Способ II (приведение к единице) |
1. 100% - Хр. 15% - 12р 100 = Х 15 12 Х= 100*12 15 Х= 80. 2. 80-12=68р. стоит товар после уценки |
1. Чему =1%? 12: 15=0,8(р) 2. Чему = 100%? 0,8*100=80р. 3. Сколько стоит товар после уценки? 80-12=68 (р) |
Ответ: 80р. - первоначальная цена 68р. - стоимость товара после уценки |
Какой из способов вам интересен, рационален?
-
Решение более сложных задач на %.
Пусть банк выплачивает по сберегательному счету простые % по ставке А в год, причем эта ставка остается неизменной в течение двух лет. Вкладчик может поступить по-разному: 1) Если он закроет счет через год, то он получит сумму S(1) = S(0)x(1+A). Допустим, что он положит эту сумму ещё на 1 год с теми же условиями, тогда через второй год он получит S(2)=S(1)x (1+A)=S(0)x (1+A)2
S (2)= S(0)x (1+A) Равны ли эти суммы? Сравним их. S(0x1+A)2- S(0)x(1+2A)= S(0)x(1+2A+A-1-2A)=S(0)xA.
Так какой же способ выгоднее для вкладчика? Так как вкладчик получает при этом на S(0)xA больше, Величина S(0)xA — приращение на проценты, полученные за первый год или так называемые «проценты на проценты».
Чтобы предотвратить частое переоформление вкладов и для поощрения долгосрочных вкладов, в коммерческой практике принято выплачивать сложные проценты. Исходная сумма или база (S(0)) для начисления сложных процентов увеличивается с каждым периодом начисления, а для простых процентов база постоянна (S(0)).
Запишем определение.
Капитализацией процентов называется присоединение начисленных процентов к сумме, являющейся базой для их начисления. Выведем формулу расчета наращенной суммы.
S(n) с годовой процентной ставкой А при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в год.
S(1)=S(0)+S(0)xA=S(0)x(1+A)
S(2)=S(1)+S(1)xA=S(1)x(1+A)=S(0)x(1+A)2
S(3)=S(0)x(1+A)3....................................
S(n)=S(0)x(1+A)n — формула сложных процентов, где S(n) - наращенная сума через n лет.
S(0) — базовая сумма.
Эта формула описывается геометрической прогрессией со знаменателем q=1+1.
Пример1.
Вы положили в банк 10 тысяч руб на срочный вклад при сложной процентной ставке 10% годовых. Сколько денег Вы получите через 2 года?
Дано: S(0)=10000руб., А=0,1, n=2, Найти S(2).
Решение
S(2)=S(0)x(1+A)2. S(2)=10000x (1+0,1)2=10000x1,21=12100 руб.
Ответ: 12100руб.,
Отношение Q=S(n)= S(0)x(1+A)2 = (1+A) n= Qc.
S(0) S(0)
Qc — коэффициент наращения по сложным процентам.
S(n)=S(0) x Qc
VI. Обобщение и систематизация знаний.
На таких уроках идет творческая работа по решению и составлению задач.
Выводы:
-
при такой методике исчезает необходимость изучения в 3 подтемах темы: «Проценты». Экономим время.
-
Повторение алгоритма решения задач, но не прямое, а преобразованное:
а) при решении задач на пропорции использовали схему -
-
б) при решении задач на дроби
1 -
-
в) при решении задач на проценты: 100% -
-
Тему понимают глубже.
-
Используя аналогию, сравнение, учатся выявлять сходство, различие, проявляют смекалку, сообразительность, учатся самостоятельности.
-
Открывается поле для творчества, появляется интерес; учащиеся - в фазе активной умственной деятельности.
-
Сравнение способов решения задач позволяет подходить к решению задач с разных позиций, учит не отступать, отстаивать свою точку зрения и побеждать в трудных случаях.
1.Влажность свежескошенной травы 70%, а влажность сена 16%. Сколько надо скосить травы, чтобы получить 1 т сена?
Решение. В 1 т сена сухой массы 840 кг (100-16%= 84%, 1000*0,84=840).В свежескошенной траве сухая масса составляет 30%. Значит, 840 кг составляют 30% и травы нужно скосить 840:0,3=2800(кг)=2.8(т).
2.Перерабатывая цветочный нектар в мед, пчелы освобождают его от значительной части воды. Нектар содержит 70% воды, а мед — 16%. Сколько килограммов нектара надо переработать для получения 1 кг меда?
(2,8 кг.)
3.Куб с ребром 8 см покрасили со всех сторон, а затем распилили на кубики с ребром 1 см. Какой процент среди них составляют кубики, имеющие только одну окрашенную грань?
Решение. 8*8*8=512 (кубиков) получится при распиле, и среди них с одной окрашенной гранью (6*6)*6=216 (кубиков);
512 кубиков — 100%,
216 кубиков — х%
х= 216*100 =42,1875.
512
(примерно 42,2%.)
4.В драматическом кружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек в этом кружке от числа мальчиков?
Решение. Пусть девочек х, тогда мальчиков0,8х. Число девочек составляет от числа мальчиков х *100%=125%
0,8х
5.Под кукурузу отвели участок поля в форме прямоугольника. Через некоторое время первоначальную длину участка увеличили на 35%, а ширину уменьшили на 14%. На сколько процентов изменилась площадь участка?
Решение. Пусть х — длина, у — ширина участка. Тогда его площадь ху. После изменения параметров длина его стала 1,35х, а ширина 0,86у. Площадь нового участка равна 1,35х*0,86у=1,161ху.
Значит, по сравнению с первоначальной площадью увеличилась на 1,161 ху-ху=0,161ху, что составляет 0,161ab *100% =16,1 %.
ab
6.В свежих грибах было 90% воды. Когда их высушили, то они стали легче на 15 кг при влажности 60%. Сколько было свежих грибов?
Решение. Если свежих грибов было х(кг), то сухой массы в них 0,1х (кг). После подсушивания сухой массы стало 40%, т.е. 0,1х (кг) составляет 40%, значит, при влажности 60% грибов стало 0,1х*100% =1х (кг), а испарилось 3х (кг)влаги, что составляет 15 кг., т. е. 40% 4 4
3х=15, х=20.
4
(20 кг свежих грибов.)
7.Имеется 735 г. 16%-ного раствора йода в спирте. Нужно получить 10%-ный раствор йода. Сколько граммов спирта надо долить для этого к уже имеющемуся раствору?
(441 г.)
8.Как изменится в процентах площадь прямоугольника, если его длина увеличится на 30%, а ширина уменьшится на 30%.
(Площадь уменьшится на 9%.)
- Вебинар «Игровая деятельность, направленная на развитие социально-коммуникативных навыков дошкольников: воспитываем эмпатию, развиваем умение договариваться и устанавливать контакты, осваиваем способы разрешения конфликтных ситуаций»
- Вебинар «Детская агрессия: нейроигровые приемы обучению саморегуляции, способам выражения гнева в приемлемой форме, формирование позитивных качеств личности»
- Контрольно-оценочная деятельность учителя начальных классов в условиях реализации ФГОС НОО
- Организация исследовательской и проектной деятельности обучающихся начальной школы как основное требование ФГОС НОО
- Методы и приемы формирования и оценки УУД младших школьников в соответствии с ФГОС НОО
- Проектирование современного урока математики: реализация требований ФГОС
Прочитав рассуждения , могу в чем-то согласиться с автором, в чем-то нет.
Положительным моментом является предложенная учителем методика изучения темы с помощью пропорций. По своему опыту знаю, что это наиболее доходчивый способ решения задач на проценты. Но у него есть минусы:
1) В магазине негде составлять пропорции, а задачи, как правило, бытового характера.
2) Способ объяснения задач с помощью прямой и обратной пропорциональности очень не эффективен, так как к 9-му классу уже ни один ученик не помнит как рисовать эти стрелочки и что они обозначают.
В последнее время склоняюсь к тем авторам учебников, которые предлагают решать задачи на проценты с помощью десятичных дробей, большой плюс этого способа - удобство составления уравнений. Такая методика описана у Дорофеева Г. В. (учебник алгебры, ФГОС).
Некоторые части документа вызывают вопросы: очень путано описаны сложные задачи на проценты, сложная символика, множество скобок, ученику будет непонятно в чем суть.
Автору опыта можно посоветовать доработать материал (скомпоновать более сжато, выбрать общее направление, убрать "лирику"), и получится замечательная статья для издания по методике преподавания математики.
Работы, размещаемые на страницах портала должны содержать логотип портала (раздел Справка Главного меню).