Разработки уроков по теме "Квадратные уравнения"
Краткое описание
Целью данной работы является изучение учениками темы квадратные уравнения. Сначала я разработала уроки решения неполных уравнений, затем дети учатся решать полные квадратные уравнения, где представлен урок- практикум. И в заключении представлена разработка урока по изучению теоремы Виета и ее пракическое применение.
Описание
Тема 1 урока: Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.
Цель урока:
Вспомнить определение и способы решения линейных уравнений, научить решать неполные квадратные уравнения,
Развивать навыки нахождения коэффициентов квадратных уравнений, умение самостоятельно приобретать новые знания,
Воспитывать самостоятельность и творчество.
Ход урока: I. Орг. Момент, тема, цель урока.
II. Повторение темы «Линейные уравнения»
1) Давайте вспомним, что называется уравнением?
(всякое равенство, содержащее неизвестную величину, обозначенную какой- либо буквой, называется уравнением.)
2) Что такое решить уравнение?
(Решить уравнение – значит, найти все его корни или убедиться, что корней нет.)
3) Что называется корнем уравнения?
(Значение переменной, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения.)
4) Как сделать проверку корней уравнения?
(После того, как найдены корни уравнения, следует сделать проверку, подставив их в исходное уравнение. Если получается истинное равенство, значит корни найдены верно).
5) Сформулируйте определение равносильных уравнений.
(Два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые корни).
6) Какие свойства равносильных уравнений используются при решении уравнений?
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от 0, то получится уравнении, равносильное данному;
Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному;
Если из одной части уравнения перенести слагаемое в другую часть с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному).
7) Решить уравнения:
а) 2х=5;
б) х+5=11;
в) х2=4;
г) х2+4=0;
д) (х-1)(х+2)=0.
III. Изучение темы.
1) Начнем с истории:
Почему и когда появились уравнения? Какую роль они сыграли в развитии числа?
Народы разных племен общались друг с другом не только путем войн и набегов, но и благодаря торговле, мореплаванию, наблюдениям за небом. Народы обменивались имеющимися знаниями. Математика развивалась благодаря общению ученых и жрецов разных стран и достигает высокого уровня уже 2600 лет тому назад.
Известно, что около 4000 лет назад вавилоняне решали разные задачи землемерия, строительства и военного дела с помощью уравнений. Составлять и решать уравнения умели также китайские и индийские ученые.
Почему возник метод уравнений? Потому, что сама жизнь ставила перед людьми все более сложные задачи. Постройка кораблей, взаимные расчеты купцов, вычисление сроков начала полевых работ по небесным светилам требовали расширения и углубления знаний по математике. Способы решения задач, в основном арифметические, уже не устраивали купцов, строителей кораблей, жилищ, пирамид.
Уравнениями сначала занимались, главным образом, потому, что некоторые задачи арифметическим способом было решить трудно или вообще невозможно.
Ученые математики занимались ими не только для того, чтобы удовлетворить практику, но и для того, чтобы развивать науку. Это дало свои результаты.
Задачи на квадратные уравнения встречаются в древней Индии в 499 г. Там были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее:
«Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи».
2) На доске написано несколько уравнений. Определите степень уравнений.
а) 5х-3=2+4х — уравнение первой степени;
б) 3х2-14=8х-х2 — уравнение второй степени;
в) х3+27=0 — уравнение третей степени;
г) ах+b=с-х — уравнение первой степени;
д) ах2+bх+с=0-уравнение второй степени.
3) Уравнение вида
ах2+bх+с=0, где а, b, с- некоторые числа, причем а≠0, b≠0, с≠0, х — независимая переменная,
называется полным квадратным уравнением.
Например, -2х2+3х+5=0; 4х2-х-1=0.
Определение неполных квадратных уравнений:
Неполное квадратное уравнение — Уравнение, в котором после приведения к виду ах2+bх+с=0, хотя бы один из коэффициентов (bили с) равен 0.
ах2+с=0 ах2+bх=0 ах2=0
(b=0) (с=0) (b=0, с=0)
4) Решение неполных квадратных уравнений:
а) ах2+с=0,
ах2=-с,
х2=-с/а
х1= ±Ö-с/а, где с/а<0
( Один пример разбирает учитель, остальные 2 сами учащиеся)
б) ах2=0,
х2=0,
х=0.
(решить пример)
в) ах2+bх=0, вынесем общий множитель за скобки: х(ах+b)=0.
Произведение равно 0, когда один из сомножителей равен 0:
х=0 или ах+b=0,
ах=-b,
х=-b/а.
(Один пример разбирает учитель, 2 ученики в тетради самостоятельно с проверкой).
Затем ученикам предлагается придумать свои примеры неполных квадратных уравнений по одному каждого типа и произвести их решение.
IVПервичное осмысление и применение изученного материала:
1) Решить на доске с последующим обсуждением №504, 505 (устно), №509, 510(а, б)
2) Обучающая самостоятельная работа для самоконтроля:
Критерии оценок:
Оценка «5»-8 баллов;
Оценка «4»-6-7 баллов;
Оценка «3»- 3 балла.
Вариант 1:
1) Решите уравнение:
а) 2х2-18=0; б) 5х2+15х=0; в) х2+5=0.
(за каждое правильно решенное уравнение 1 балл)
2) Составьте квадратное уравнение, имеющее корни 3 и -3 (2 балла).
3) Решить уравнение:
(х+1)2+5(1+х) =6.(3 балла)
Вариант 2:
1) Решите уравнения:
а) 6х2-12=0; б) 3х2+12х=0; в) 7+х2=0.
(за каждое правильно решенное уравнение 1 балл)
2) Составьте квадратное уравнение, имеющее корни 0 и 6.(2 балла)
3) Решить уравнение:
(4-х)(4+х)= 2х-16.(3 балла).
По записи на доске происходит проверка.
V Подведение итогов урока.
1) Учащиеся подсчитывают количество баллов и ставят себе оценку.
2) Какую группу уравнений мы сегодня с вами рассмотрели? Расскажите виды уравнений и способы их решения.
3) Чем мы будем заниматься на следующем уроке, как вы думаете?(решать полные квадратные уравнения)
4) Домашнее задание:
а) составить опорный конспект урока, который пригодится при решении уравнений на следующих уроках;
б) п. 19, №511, 516, дополнительно №444.
Урок 2 по теме «Решение неполных квадратных уравнений».
Цель:
Закрепление навыка решения неполных квадратных уравнений трех типов,
Развитие логического мышления.;
Воспитание активности, желания работать до конца, содействовать побуждению интереса к математике.
Ход урока:
I. Орг. момент, сообщение темы и постановка целей урока.
II. Проверка домашнего задания:
1) №511 у доски выполняют 2 ученика.
2) Какого вида уравнения вы решали? Напишите из решение в общем виде.(1 уч-ся)
3) Какие из уравнений являются квадратными:
а) 3х+х2=0; д) –х2+8х+1=0;
б) 2х-5=4; е) х2-9х=0;
в) -3х2+2х-5=0; ж) х+2=0;
г) 2х2-7=0; з) 5х2=0.
Какие из этих уравнений являются неполными квадратными, их виды? (выписать их на доске)
Какие уравнения называются полными квадратными уравнениями? Выпишите их и назовите коэффициенты.
Какие уравнения называются приведенными квадратными уравнениями? Приведите примеры.
Уравнения какого вида имеет всегда 2 решения? Одно решение? А какое не может иметь решений? (показать на доске).
4) Устно решить данные неполные уравнения: (1 уч-ся).Проверка проводится в парах по партам и одновременно на доске, где работает учащийся.
III. Закрепление материала.
1) Сейчас мы решали уравнения, в которых правая часть равна 0. А как решать уравнения, в которых и правая, и левая части являются многочленами первой и второй степени?
Рассмотрим пример:
Решить уравнение:
9х2+4х-10= 5х2+4х+6.
Выполняя необходимые преобразования, имеем:
9х2+4х-10-5х2-4х-6=0,
4х2-16=0,
х2=4,
х1=2, х2=-2.
2) Решить №512 и 513.
IV. Самостоятельная работа: (работа проводится в группах)
1) Решить уравнения:
1 и 4 группы: 4х2-3х+7= 2х2+х+7;
2 и 5 группы: -5у2+8у=8= 8у+3;
3 и 6 группы: 10-3х2= х2+10-х.
Группы 1-3 предлагают свои решения с ответами на доске, а группы 4-6 им оппонируют.
2) Решите уравнения:
1 группа: (х-8)(х+3)=1-5х;
2 группа: (3х-2)2-4=6х;
3 группа: (х-2)(х+2)=2(х2-3);
4 группа: 3х(2х+3)=2х(х+4,5)+2;
5 группа: (6х+5)(3х-4)=-20;
6 группа: (2х+5)2-25=0.
Проверка проводится по готовым решениям.
V. Закрепление темы, решение кодированной работы.
Решите уравнения:
И) х2-36=0;
Й) х2-3=0;
Т) 1 7/9-х2=0;
Л) 25х2+4=0;
А) 5х2-9=0;
О) х2+16=0;
И) х2+1=Ö2;
Я) х2+2=Ö2;
З) х2+Ö3=1;
В) 4х2-1 1/3=0;
Н) х2-7х=0;
З) 2х2-9х=0;
Ж) 14х+5х2=0;
Ь) 5х2=15х;
И) 0,6х2-0,5х=0.
Выпишите буквы, связанные с квадратными уравнениями, в которых корней нет, и составьте из них женское имя.
Выпишите буквы, в которых корни являются противоположными числами, и составьте мужское имя.
Из букв, в которых одним из корней является 0, составьте слово, от которого оба имени произошли.
VI. Подведение итогов урока.
1) Сформулируйте определение квадратного уравнения.
2) Какое уравнение называют неполным квадратным уравнением? Приведите примеры неполных квадратных уравнений различных видов.
3) Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение каждого вида?
4) какое уравнение называют приведенным квадратным уравнением?
5) №513, 515,
придумать 10 неполных квадратных уравнений и решить их.
Тема урока: Решение квадратных уравнений по формуле.(1 урок)
Цель урока:Вывести формулу корней квадратного уравнения, научить учащихся решать квадратные уравнения по формуле и применять различные способы решения, способствовать осознанному усвоению темы, приобретению навыков рациональных вычислений;
Развивать умение использовать для достижения поставленной задачи уже полученные знания, способствовать развитию познавательного интереса к предмету, воздействуя на интерес к самопознанию;
Воспитывать чувство коллективизма, ответственности, самоконтроля.
Ход урока:
1. Орг. момент, тема, цель урока. Вступительное слово учителя:
Сегодня мы продолжим работу по изучению квадратных уравнений. Мы с вами умеем решать неполные квадратные уравнения. А как же решить полное квадратное уравнение?
Класс мы разделим на группы- по рядам. Каждый ряд решает свое задание, а в конце урока мы все вместе будем оценивать работу каждого учащегося. Начнем с повторения пройденного.
2. Актуализация знаний. Опрос по теме: «Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения.»:
1. Сформулируйте определение квадратного уравнения. Какие они бывают?
2. Охарактеризуйте уравнение ах2+bх+с=0. Что такое а, b, с, х?
3. Какое из данных уравнений является квадратным и почему:
48у2-у3-9=0; -3х3+2х+8=0.
4. Какое уравнение называется неполным квадратным уравнением?
5. Приведите примеры неполных квадратных уравнений и расскажите о способах их решений.
6. Какое уравнение называется приведенным?
7. Решить уравнения:
х2=64; 36х2=1; х2=-9; 3х2-6=0.
3. Игра «Цепочка»:
Каждый учащийся ряда получает карточку с небольшим заданием- решить неполное квадратное уравнение. Выполнив задание, учащийся передает карточку сидящему сзади. Ученик, сидящий за последней партой, приносит к столу учителя все карточки данного ряда. Побеждает тот ряд, который дал наибольшее число правильных ответов за самое короткое время. Лишние очки могут принести те учащиеся, которые успеют решить дополнительно еще несколько уравнений.(заранее пишутся на доске.)
На доске записаны примеры:
1) (х-8)(5+х)=0; 6)х2-7х=0;
2) 9у2-4=0; 7) х2+9=0;
3) х2-16=0; 8) (у+6)(6-у)=0;
4) (х-2)2=1; 9) х2-1=0;
5) (х+1)2=16; 10) -7-х2=0.
4. История возникновения квадратных уравнений. ( сообщение заранее готовит один из учеников):
Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений умели решать вавилоняне примерно 2 тысячи лет до нашей эры. Некоторые виды квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики, сводя их решение к геометрическим построениям. Приёмы решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант Александрийский (3 век) в книгах «Арифметика», которые до нашего времени не сохранились.
Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду ах2+bх+с=0, где а>0, дал учёный Брахмагупта (7 век) в трактате «Китаб аль- джебр валь- мукабала».
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду х2+bх=с, было сформулировано немецким математиком М. Штифелем.(1487- 1567). После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595- 1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов. Были выведены Виетом в 1591 году.
5. Изучение новой темы.
Учитель обращает внимание учащихся на то, что будет рассмотрено несколько случаев применения формул для решения квадратных уравнений, что учащимся следует научиться не только применять формулы, но и самим видеть те ситуации, где какую формулу применить рациональнее.
Объяснение темы построить в соответствии с пунктом учебника.
На доске- краткое изложение темы производит учитель, показывает на примере решение квадратного уравнения. Основные формулы вывешиваются на стенде «Сегодня на уроке».
6. Закрепление темы:
а) Самостоятельно: выясните, имеет ли заданное уравнение корни? В случае утвердительного ответа укажите их количество.(каждый ряд делает свою таблицу).
б) Решение квадратных уравнений на скорость(какой ряд быстрее и правильнее справится с заданием):
1) 2х2-6х+4=0; (х1=1, х2=2)
2) 3х2-7х-6=0; (х1=3, х2=-2/3)
3) 2х2-5х-7=0; (х1=-1, х2=3,5)
4) 3х2+х-2=0; (х1=-1, х2=2/3)
5) х2+3х-10=0; (х1=-5, х2=2)
6) х2-х-90=0; (х1=10, х2=-9)
7) х2+4х-5=0; (х1=1, х2=-5)
8) х2-х-110=0; (х1=11, х2=-10)
9) х2-2х-15=0; (х1=5, х2=-3)
10) х2+17х+70=0. (х1=-7, х2=-10)
7. Итог урока:
1. Какие уравнения мы сегодня с вами решали?
2. С помощью чего мы их решали?
3. Если дискриминант равен 0, то что можно сказать о корнях уравнения?
4. Если дискриминант больше 0?
5. Если дискриминант меньше 0?
6. По каким формулам можно найти корни уравнения?
8. Выставление оценок:
Учитель суммирует баллы за каждый пройденный этап. Объявляется ряд-победитель.
Ученики сами оценивают работу каждого ученика, комментируют результат. Учитель подводит итог урока, поддерживает и подбодряет всех детей, отмечает все лучшее у проигравших. По возможности необходимо отметить каждого ученика, с тем, чтобы создать положительную мотивацию на дальнейшее изучение математики, чтобы каждому хотелось работать лучше.
9. Домашнее задание:
а) вывод формул корней квадратного уравнения.
б) Решить уравнения, заполнить таблицу и постараться увидеть закономерность между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.
в) приготовить сообщение на тему о жизни и деятельности великого французского математика Франсуа Виета.(два ученика)
г) № 534 из учебника.
Тема урока: Решение квадратных уравнений по формуле.(2 урок)
Цель урока:
Закрепление навыка решения квадратных уравнений различного типа разными способами по формулам, отработка навыков при решении уравнений;
Развитие логического мышления., формирование навыков решения квадратных уравнений;
Воспитание активности, желания работать до конца, содействовать побуждению интереса к математике.
Ход урока: I. Орг. Момент, тема, цель урока.
IIПовторение изученного на прошлом уроке:
1. Какие уравнения называются квадратными?
2. Какие виды неполных квадратных уравнений существуют? Как они решаются? Приведите примеры.
3. С помощью чего решить квадратное уравнение?
4. Если дискриминант равен 0, то что можно сказать о корнях уравнения?
5. Если дискриминант больше 0?
6. Если дискриминант меньше 0?
7. По каким формулам можно найти корни уравнения?(записать на доске все известные формулы и доказать их- 2 уч-ся)
8. Какие уравнения называются приведенными? Почему? Приведите примеры.
9. Устно решить неполные квадратные уравнения:
2х2+6х=0;
7х2=0;
7х2-14=0.
10. Найти дискриминант и число корней квадратных уравнений:
х2+5х-1=0;
3х-2х2+19=0;
х2+7-4х=0;
11. После устного счета учащиеся проверяют домашнее задание в тетрадях и на доске, исправляя при необходимости ошибки, задавая отвечающим вопросы.
III Математический диктант.
Один ученик работает за доской, в это же время двое учащихся работают у доски по карточкам.
1. Вычислите дискриминант квадратного уравнения:
3х2-8х-3=0 (100);
2. Найдите корни квадратного уравнения:
3х2-8х-3=0; (х1=3, х2=-1/3)
3. При каком условии полное квадратное уравнение имеет единственный корень?
4. При каком условии полное квадратное уравнение не имеет корней?
5. Решите уравнение:
х2-4х+9=0; (корней нет)
(после диктанта ребята меняются тетрадями и проверяют задания друг у друга, ставят оценки; проверяют решение на доске, исправляют ошибки, задают вопросы тем, кто у доски, ставят оценки).
Также надо проверить решение тех учащихся, которые по карточкам решали.
Карточка №1:
1. Решить уравнение:
х2-5х+4=0; (х1=4, х2=1)
2. При каком значении р можно представить в виде квадрата двучлена выражение:
а) х2+рх+9; (р=6)
б) х2-2х-р. (р=-1)
Карточка №2:
1. Решить уравнение:
3х2-х-2=0; (х1=1; х2=-2/3)
2. При каком значении а уравнение имеет один корень?
х 2+ах+16=0; (а=±8).
IVЗакрепление темы. Работа по учебнику.
Эта работа проводится в двух вариантах, обычно по рядам. На доске записано задание для каждого варианта. Ученики работают в тетрадях; У доски работают 2 ученика, выполняющие разные задания. Учитель просматривает решения, задает вопросы, обращаясь к группе, представитель которой работает у доски, выставляет отвечающему оценку.
а )1 вариант решает №641 (а, б) (а: х1=-1; х2= -3/4)
(б: х1=7; х2=-8);
2 вариант решает №545 (а, б) (а: 3;-8)
(б: 4; 1 ¾)
б) Решение квадратных уравнений на скорость(какой ряд быстрее и правильнее справится с заданием):
1) 2х2-6х+4=0; (х1=1, х2=2)
2) 3х2-7х-6=0; (х1=3, х2=-2/3)
3) 2х2-5х-7=0; (х1=-1, х2=3,5)
4) 3х2+х-2=0; (х1=-1, х2=2/3)
5) х2+3х-10=0; (х1=-5, х2=2)
6) х2-х-90=0; (х1=10, х2=-9)
7) х2+4х-5=0; (х1=1, х2=-5)
8) х2-х-110=0; (х1=11, х2=-10)
9) х2-2х-15=0; (х1=5, х2=-3)
10) х2+17х+70=0. (х1=-7, х2=-10)
7. Итог урока:
1. Какие уравнения мы сегодня с вами решали?
2. С помощью чего мы их решали?
3. Если дискриминант равен 0, то что можно сказать о корнях уравнения?
4. Если дискриминант больше 0?
5. Если дискриминант меньше 0?
6. По каким формулам можно найти корни уравнения?
8. Выставление оценок:
Учитель суммирует баллы за каждый пройденный этап. Объявляется ряд-победитель.
Ученики сами оценивают работу каждого ученика, комментируют результат. Учитель подводит итог урока, поддерживает и подбодряет всех детей, отмечает все лучшее у проигравших. По возможности необходимо отметить каждого ученика, с тем, чтобы создать положительную мотивацию на дальнейшее изучение математики, чтобы каждому хотелось работать лучше.
9. Домашнее задание:
а) вывод формул корней квадратного уравнения.
б ) №546 (а, в), 548.
Урок – практикум (3 урок) по теме «Решение квадратных уравнений по формуле».
Цель:
Закрепление навыка решения квадратных уравнений различного типа разными способами по формулам, отработка навыков при решении уравнений;
Развитие логического мышления.,
Воспитание активности, желания работать до конца, содействовать побуждению интереса к математике.
Ход урока: IОрг. Момент, тема, цель.
IIУстный счет, повторение теории, подготовка к проверочной работе:
1. Какие уравнения называются квадратными?
2. как называется выражение в2-4ас?
3. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если значение дискриминанта положительно?
4. … отрицательно?
5…. Равно 0?
6. По каким формулам находятся корни квадратных уравнений в первом и последнем случае?
7. Решите устно уравнения:
х2-25=0;
х2-7х=0;
х2+9=0;
х2-19=0;
8х2=0.
8. Имеет ли квадратное уравнение корни и если имеет, то сколько:
4х2-12х+9=0;
2х2+3х-9=0;
5х2-х+2=0;
2х+3х2-2=0;
х2+7х-1=0;
25х2+10х+1=0.
9. При каких значениях с уравнения имеют один корень:
2х2-2х+с=0;
сх2-6х+3=0.
III. Проверочная работа обучающего характера. Цель работы- проверить уровень сформированности навыка решения квадратных уравнений по формуле.
IV. Закрепление темы: №541, 550(1 ст).
V. Подведение итогов урока, устное решение уравнений 1 варианта.
VI. Домашнее задание :( поуровневое):
1 уровень:
1) Решите уравнения:
а) 5х2-25х=0;
б) 100х2-16=0;
в) 3х2-11х-4=0;
г) х2-3х+1=0;
д) 2х2=5х+9= х+2;
е) (х-4)(4х+6)= (х-5)2;
ж) (х-3)(2х+10)=(2+х)2;
2) При каком значении с уравнение имеет один корень: а) 2х2-2х+с=0; б) сх2-6х+3=0?
3) №542(2 ст)
2 уровень:
1) Решить уравнения:
а) 8х2+2х=0;
б) 9х2-25=0;
в) 3х2+14х-5=0;
г) х2-5х+5=0;
д) 4х2+4х+4= х+3.
2) №542(1 ст).
Тема урока «Решение задач с помощью квадратных уравнений»
Цель:
Совершенствовать навык составления уравнений по условиям задач,
Развивать умение проверять соответствие найденного решения условиям задачи;
Воспитывать активность, умение выслушивать других.
Ход урока: I. Орг момент, тема, цель.
II. Анализ ошибок, допущенных в проверочной работе с теми, кто допустил ошибки:
1) Повторить формулы, по которым решаются квадратные уравнения;
2) Решить уравнения:
а) ½ х2-2х+8=0;
б) ¼ х2-3х+9=0;
в) у2-у-30=0;
г) (2х-1)2-4х=13;
д) 3х2-х+4=0.
Те, кто получил оценку «5», выполняют тесты:
1) Укажите в квадратном уравнении коэффициент b: х2+3-4х=0:
а) 1; б) -4; в) 3; г) 4.
2) Среди чисел -3; 3; -4; -1 найдите корень уравнения: х2+5х+6=0:
а) -3; б) 3; в) -4; г) -1.
3) Решите уравнение: (х-2)(х+2)=4:
а) 6;4; б) нет решений; в) 0; 4) 2√2;-2√2.
4) Найдите корни уравнения: -х2+3=7х+3:
а) 7; б) 0;-7; в) нет решений; г) 0;7.
5) Выделите квадрат двучлена в выражении: х2+8х+15.
а) (х+84)2-16; б) (х+2)2+4; в) (х+4)2-1; г) (х+4)2+1.
III. Изучение темы, повторение изученного ранее.
1) Составьте уравнение по условию задачи:
а) Одно число больше другого на 5, а их произведение равно 138. найдите эти числа.
б) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см. Найдите катеты, если один из них на 2 см меньше другого.
в) Найдите два последовательных целых числа, произведение которых равно 380.
г ) Периметр прямоугольника равен 40 см, а его площадь 600 см2. Найдите стороны прямоугольника.
Два из уравнений решить в классе, два оставить на дом.(все уравнения составляются в классе).
Обобщение темы, вывод:
Прежде, чем составить уравнение к задаче, нужно знать, что лучше обозначить за х, затем в соответствии с условием задачи составить уравнение и решить его.
Необходимо обратить внимание на то, что при решении уравнения может получится 2 решения, нужно еще раз посмотреть, что мы нашли и сопоставить решение с условием задачи, неподходящий ответ следует исключить.
IV. Закрепление темы: №556; №558.
V. Подведение итогов: рассказать алгоритм решения задач с помощью квадратных уравнений.
VI. Задание на дом: №557, №559, дорешать задачи, начатые в классе.
Урок №2 по теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений».
Цель:
Совершенствовать навык составления уравнений по условиям задач, развивать умение проверять соответствие найденного решения условиям задач, отработка навыков решения квадратных уравнений по формулам, развитие логического мышления каждого учащегося, его памяти и внимания; воспитывать любовь к предмету, прививать навыки красиво и правильно оформлять и решать задачу.
Ход урока: I. Орг. Момент, тема, цель.
II. Устная работа:
1) Решить неполные квадратные уравнения:
а) х2+3х=0; б) 5х2=3х; в) у2-121=0; г) 1/3 х2-2=0.
2) Является ли число 1 корнем квадратных уравнений:
а) 5х2-2х-3=0; б) х2-5х+4=0; в) -2х2+13х-11=0; г) 167х2-165х-2=0; д) 200х2+201х+1=0;
3) Рассказать алгоритм решения задач на составление уравнений.
4) Составьте уравнения для решения задач:
а) Найдите два положительных числа, одно из которых в 2 раза больше другого, а их произведение равно 288.
б) Найдите два положительных числа, одно из которых на 2 больше другого, а их произведение равно 288.
в ) Найдите два положительных числа, одно из которых составляет 80 % другого, а их произведение равно 288.
г ) Найдите два положительных числа, если они относятся как 2:3, а из х произведение равно 288.
III. Закрепление темы, решение интересных задач:
1) На основе статистических данных можно выделить регионы с максимальным сбросом загрязненных вод: это Краснодарский край и Москва. Сколько процентов общего количества загрязненных вод дают эти регионы, вы узнаете, решив уравнение:
х2-19х+88=0. (х1=8; х2=11)
2) Известно, что учет населения проводился в Египте и в Китае еще до нашей эры. Решив квадратное уравнение, вы определите, в каком это было тысячелетии до нашей эры:
4а2-24а+36=0. (х=3).
3) Кислотные осадки разрушают сооружения из мрамора и других материалов. Исторические памятники Греции и Рима, простояв тысячелетия, за последние годы разрушаются прямо на глазах. «Мировой рекорд» принадлежит одному шотландскому городку. Где 10 апреля 1974 г. выпал дождь, скорее напоминающий столовый уксус, чем воду. Решив уравнения, вы прочитаете название этого города. (Питлохри)
4) Решение задач из учебника:
№563; 565.
IV. Подведение итогов урока, домашнее задание: №564, 566, предварительно разобрать условия задач, подготовить сообщение о жизни и деятельности Ф. Виета.(2 уч-ся)
Тема урока: «Теорема Виета».
Цель урока:
Развивать умение доказывать теорему Виета и теорему, ей обратную; ознакомить учащихся с применением этих теорем при решении квадратных уравнений и при проверке найденных решений; развивать навыки использования теоремы Виета, навыки решения квадратных уравнений; воспитывать активность и настойчивость.
Ход урока: I. Орг. Момент, тема, цель.
II. Проверка домашнего задания- самостоятельная работа на 15 минут.
Вариант №1: Решить задачи:
1) Из квадрата задуманного натурального числа вычли 63 и получили число вдвое больше задуманного. Какое число было задумано?
2)Кусок стекла имеет форму квадрата. Когда от него отрезали полоску шириной 1 м, его площадь стала равна 2 м2. Найдите размеры первоначального куска стекла.
Вариант №2: Решить задачи:
1) Из квадрата задуманного числа вычли 10 и получили число, на 2 больше задуманного. Какое число было задумано?
2) Лист жести имеет форму квадрата. Когда от него отрезали полоску шириной 5 см, площадь оставшейся части стала равна 6 см2. Найдите размеряя первоначального куска стекла.
III. Изучение новой темы:
1) Сообщение о жизни и деятельности Ф. Виета.(ученики)
2) Какие уравнения называются приведенными?
3) Заполнить таблицу, решив квадратные уравнения: (задание выполняется на скорость, затем проверяются готовые ответы за доской- для каждого квадратного уравнения найдите сумму и произведение корней, результат запишите в таблицу)
4) Сформулировать закономерность между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.(ученики должны увидеть, что сумма корней приведенного квадратного уравнения равна числу, противоположному второму коэффициенту, а произведение корней равно свободному члену)
5) Доказательство теоремы Виета. (производит учитель).
6) Показать ученикам на примере, как применяется теорема Виета, сформулировать теорему, обратную теореме Виета.
IV. Закрепление темы: №573 устно-по цепочке.
Решение №574(1 ст) и №576.
V. Подведение итогов урока:
1) Что нового мы узнали на этом уроке?
2) Попытайтесь без помощи учебника сформулировать теорему Виета; теорему, ей обратную.
3) Всегда ли можно применять теорему Виета? (Когда дискриминант больше или равен 0)
4) Между чем устанавливает зависимость теорема Виета? (зависимость значений коэффициентов от корней квадратного уравнения).
VI. Домашнее задание: №575 и №577.
Цель урока:
Вспомнить определение и способы решения линейных уравнений, научить решать неполные квадратные уравнения,
Развивать навыки нахождения коэффициентов квадратных уравнений, умение самостоятельно приобретать новые знания,
Воспитывать самостоятельность и творчество.
Ход урока: I. Орг. Момент, тема, цель урока.
II. Повторение темы «Линейные уравнения»
1) Давайте вспомним, что называется уравнением?
(всякое равенство, содержащее неизвестную величину, обозначенную какой- либо буквой, называется уравнением.)
2) Что такое решить уравнение?
(Решить уравнение – значит, найти все его корни или убедиться, что корней нет.)
3) Что называется корнем уравнения?
(Значение переменной, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения.)
4) Как сделать проверку корней уравнения?
(После того, как найдены корни уравнения, следует сделать проверку, подставив их в исходное уравнение. Если получается истинное равенство, значит корни найдены верно).
5) Сформулируйте определение равносильных уравнений.
(Два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые корни).
6) Какие свойства равносильных уравнений используются при решении уравнений?
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от 0, то получится уравнении, равносильное данному;
Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному;
Если из одной части уравнения перенести слагаемое в другую часть с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному).
7) Решить уравнения:
а) 2х=5;
б) х+5=11;
в) х2=4;
г) х2+4=0;
д) (х-1)(х+2)=0.
III. Изучение темы.
1) Начнем с истории:
Почему и когда появились уравнения? Какую роль они сыграли в развитии числа?
Народы разных племен общались друг с другом не только путем войн и набегов, но и благодаря торговле, мореплаванию, наблюдениям за небом. Народы обменивались имеющимися знаниями. Математика развивалась благодаря общению ученых и жрецов разных стран и достигает высокого уровня уже 2600 лет тому назад.
Известно, что около 4000 лет назад вавилоняне решали разные задачи землемерия, строительства и военного дела с помощью уравнений. Составлять и решать уравнения умели также китайские и индийские ученые.
Почему возник метод уравнений? Потому, что сама жизнь ставила перед людьми все более сложные задачи. Постройка кораблей, взаимные расчеты купцов, вычисление сроков начала полевых работ по небесным светилам требовали расширения и углубления знаний по математике. Способы решения задач, в основном арифметические, уже не устраивали купцов, строителей кораблей, жилищ, пирамид.
Уравнениями сначала занимались, главным образом, потому, что некоторые задачи арифметическим способом было решить трудно или вообще невозможно.
Ученые математики занимались ими не только для того, чтобы удовлетворить практику, но и для того, чтобы развивать науку. Это дало свои результаты.
Задачи на квадратные уравнения встречаются в древней Индии в 499 г. Там были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее:
«Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи».
2) На доске написано несколько уравнений. Определите степень уравнений.
а) 5х-3=2+4х — уравнение первой степени;
б) 3х2-14=8х-х2 — уравнение второй степени;
в) х3+27=0 — уравнение третей степени;
г) ах+b=с-х — уравнение первой степени;
д) ах2+bх+с=0-уравнение второй степени.
3) Уравнение вида
ах2+bх+с=0, где а, b, с- некоторые числа, причем а≠0, b≠0, с≠0, х — независимая переменная,
называется полным квадратным уравнением.
Например, -2х2+3х+5=0; 4х2-х-1=0.
Определение неполных квадратных уравнений:
Неполное квадратное уравнение — Уравнение, в котором после приведения к виду ах2+bх+с=0, хотя бы один из коэффициентов (bили с) равен 0.
ах2+с=0 ах2+bх=0 ах2=0
(b=0) (с=0) (b=0, с=0)
4) Решение неполных квадратных уравнений:
а) ах2+с=0,
ах2=-с,
х2=-с/а
х1= ±Ö-с/а, где с/а<0
( Один пример разбирает учитель, остальные 2 сами учащиеся)
б) ах2=0,
х2=0,
х=0.
(решить пример)
в) ах2+bх=0, вынесем общий множитель за скобки: х(ах+b)=0.
Произведение равно 0, когда один из сомножителей равен 0:
х=0 или ах+b=0,
ах=-b,
х=-b/а.
(Один пример разбирает учитель, 2 ученики в тетради самостоятельно с проверкой).
Затем ученикам предлагается придумать свои примеры неполных квадратных уравнений по одному каждого типа и произвести их решение.
IVПервичное осмысление и применение изученного материала:
1) Решить на доске с последующим обсуждением №504, 505 (устно), №509, 510(а, б)
2) Обучающая самостоятельная работа для самоконтроля:
Критерии оценок:
Оценка «5»-8 баллов;
Оценка «4»-6-7 баллов;
Оценка «3»- 3 балла.
Вариант 1:
1) Решите уравнение:
а) 2х2-18=0; б) 5х2+15х=0; в) х2+5=0.
(за каждое правильно решенное уравнение 1 балл)
2) Составьте квадратное уравнение, имеющее корни 3 и -3 (2 балла).
3) Решить уравнение:
(х+1)2+5(1+х) =6.(3 балла)
Вариант 2:
1) Решите уравнения:
а) 6х2-12=0; б) 3х2+12х=0; в) 7+х2=0.
(за каждое правильно решенное уравнение 1 балл)
2) Составьте квадратное уравнение, имеющее корни 0 и 6.(2 балла)
3) Решить уравнение:
(4-х)(4+х)= 2х-16.(3 балла).
По записи на доске происходит проверка.
V Подведение итогов урока.
1) Учащиеся подсчитывают количество баллов и ставят себе оценку.
2) Какую группу уравнений мы сегодня с вами рассмотрели? Расскажите виды уравнений и способы их решения.
3) Чем мы будем заниматься на следующем уроке, как вы думаете?(решать полные квадратные уравнения)
4) Домашнее задание:
а) составить опорный конспект урока, который пригодится при решении уравнений на следующих уроках;
б) п. 19, №511, 516, дополнительно №444.
Урок 2 по теме «Решение неполных квадратных уравнений».
Цель:
Закрепление навыка решения неполных квадратных уравнений трех типов,
Развитие логического мышления.;
Воспитание активности, желания работать до конца, содействовать побуждению интереса к математике.
Ход урока:
I. Орг. момент, сообщение темы и постановка целей урока.
II. Проверка домашнего задания:
1) №511 у доски выполняют 2 ученика.
2) Какого вида уравнения вы решали? Напишите из решение в общем виде.(1 уч-ся)
3) Какие из уравнений являются квадратными:
а) 3х+х2=0; д) –х2+8х+1=0;
б) 2х-5=4; е) х2-9х=0;
в) -3х2+2х-5=0; ж) х+2=0;
г) 2х2-7=0; з) 5х2=0.
Какие из этих уравнений являются неполными квадратными, их виды? (выписать их на доске)
Какие уравнения называются полными квадратными уравнениями? Выпишите их и назовите коэффициенты.
Какие уравнения называются приведенными квадратными уравнениями? Приведите примеры.
Уравнения какого вида имеет всегда 2 решения? Одно решение? А какое не может иметь решений? (показать на доске).
4) Устно решить данные неполные уравнения: (1 уч-ся).Проверка проводится в парах по партам и одновременно на доске, где работает учащийся.
III. Закрепление материала.
1) Сейчас мы решали уравнения, в которых правая часть равна 0. А как решать уравнения, в которых и правая, и левая части являются многочленами первой и второй степени?
Рассмотрим пример:
Решить уравнение:
9х2+4х-10= 5х2+4х+6.
Выполняя необходимые преобразования, имеем:
9х2+4х-10-5х2-4х-6=0,
4х2-16=0,
х2=4,
х1=2, х2=-2.
2) Решить №512 и 513.
IV. Самостоятельная работа: (работа проводится в группах)
1) Решить уравнения:
1 и 4 группы: 4х2-3х+7= 2х2+х+7;
2 и 5 группы: -5у2+8у=8= 8у+3;
3 и 6 группы: 10-3х2= х2+10-х.
Группы 1-3 предлагают свои решения с ответами на доске, а группы 4-6 им оппонируют.
2) Решите уравнения:
1 группа: (х-8)(х+3)=1-5х;
2 группа: (3х-2)2-4=6х;
3 группа: (х-2)(х+2)=2(х2-3);
4 группа: 3х(2х+3)=2х(х+4,5)+2;
5 группа: (6х+5)(3х-4)=-20;
6 группа: (2х+5)2-25=0.
Проверка проводится по готовым решениям.
V. Закрепление темы, решение кодированной работы.
Решите уравнения:
И) х2-36=0;
Й) х2-3=0;
Т) 1 7/9-х2=0;
Л) 25х2+4=0;
А) 5х2-9=0;
О) х2+16=0;
И) х2+1=Ö2;
Я) х2+2=Ö2;
З) х2+Ö3=1;
В) 4х2-1 1/3=0;
Н) х2-7х=0;
З) 2х2-9х=0;
Ж) 14х+5х2=0;
Ь) 5х2=15х;
И) 0,6х2-0,5х=0.
Выпишите буквы, связанные с квадратными уравнениями, в которых корней нет, и составьте из них женское имя.
Выпишите буквы, в которых корни являются противоположными числами, и составьте мужское имя.
Из букв, в которых одним из корней является 0, составьте слово, от которого оба имени произошли.
VI. Подведение итогов урока.
1) Сформулируйте определение квадратного уравнения.
2) Какое уравнение называют неполным квадратным уравнением? Приведите примеры неполных квадратных уравнений различных видов.
3) Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение каждого вида?
4) какое уравнение называют приведенным квадратным уравнением?
5) №513, 515,
придумать 10 неполных квадратных уравнений и решить их.
Тема урока: Решение квадратных уравнений по формуле.(1 урок)
|
Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает мозг, свою волю, воспитывает в себе настойчивость и упорство в достижении цели. |
Цель урока:Вывести формулу корней квадратного уравнения, научить учащихся решать квадратные уравнения по формуле и применять различные способы решения, способствовать осознанному усвоению темы, приобретению навыков рациональных вычислений;
Развивать умение использовать для достижения поставленной задачи уже полученные знания, способствовать развитию познавательного интереса к предмету, воздействуя на интерес к самопознанию;
Воспитывать чувство коллективизма, ответственности, самоконтроля.
Ход урока:
1. Орг. момент, тема, цель урока. Вступительное слово учителя:
Сегодня мы продолжим работу по изучению квадратных уравнений. Мы с вами умеем решать неполные квадратные уравнения. А как же решить полное квадратное уравнение?
Класс мы разделим на группы- по рядам. Каждый ряд решает свое задание, а в конце урока мы все вместе будем оценивать работу каждого учащегося. Начнем с повторения пройденного.
2. Актуализация знаний. Опрос по теме: «Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения.»:
1. Сформулируйте определение квадратного уравнения. Какие они бывают?
2. Охарактеризуйте уравнение ах2+bх+с=0. Что такое а, b, с, х?
3. Какое из данных уравнений является квадратным и почему:
48у2-у3-9=0; -3х3+2х+8=0.
4. Какое уравнение называется неполным квадратным уравнением?
5. Приведите примеры неполных квадратных уравнений и расскажите о способах их решений.
6. Какое уравнение называется приведенным?
7. Решить уравнения:
х2=64; 36х2=1; х2=-9; 3х2-6=0.
3. Игра «Цепочка»:
Каждый учащийся ряда получает карточку с небольшим заданием- решить неполное квадратное уравнение. Выполнив задание, учащийся передает карточку сидящему сзади. Ученик, сидящий за последней партой, приносит к столу учителя все карточки данного ряда. Побеждает тот ряд, который дал наибольшее число правильных ответов за самое короткое время. Лишние очки могут принести те учащиеся, которые успеют решить дополнительно еще несколько уравнений.(заранее пишутся на доске.)
| 1 ряд | 2 ряд | 3 ряд | 4 ряд |
|
9х2-1=0; |
16х2-1=0; |
9х2-4=0; |
25х2-16=0; |
|
(2х+7)2=100; |
(3х-4)2=25; |
(4х+5)2=16; |
(5х-6)2=36; |
|
1-4у2=0; |
4-9х2=0; |
25-16у2=0; |
1-36х2=0; |
|
(х+3)(х-4)=0; |
(у-5)(4+у)=0; |
(х+5)(3-х)=0; |
(8+у)(у-5)=0; |
|
-5х2+7х=0. |
4х2-3х=0; |
-3х2+5х=0. |
6х2-5х=0. |
На доске записаны примеры:
1) (х-8)(5+х)=0; 6)х2-7х=0;
2) 9у2-4=0; 7) х2+9=0;
3) х2-16=0; 8) (у+6)(6-у)=0;
4) (х-2)2=1; 9) х2-1=0;
5) (х+1)2=16; 10) -7-х2=0.
4. История возникновения квадратных уравнений. ( сообщение заранее готовит один из учеников):
Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений умели решать вавилоняне примерно 2 тысячи лет до нашей эры. Некоторые виды квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики, сводя их решение к геометрическим построениям. Приёмы решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант Александрийский (3 век) в книгах «Арифметика», которые до нашего времени не сохранились.
Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду ах2+bх+с=0, где а>0, дал учёный Брахмагупта (7 век) в трактате «Китаб аль- джебр валь- мукабала».
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду х2+bх=с, было сформулировано немецким математиком М. Штифелем.(1487- 1567). После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595- 1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов. Были выведены Виетом в 1591 году.
5. Изучение новой темы.
Учитель обращает внимание учащихся на то, что будет рассмотрено несколько случаев применения формул для решения квадратных уравнений, что учащимся следует научиться не только применять формулы, но и самим видеть те ситуации, где какую формулу применить рациональнее.
Объяснение темы построить в соответствии с пунктом учебника.
На доске- краткое изложение темы производит учитель, показывает на примере решение квадратного уравнения. Основные формулы вывешиваются на стенде «Сегодня на уроке».
6. Закрепление темы:
а) Самостоятельно: выясните, имеет ли заданное уравнение корни? В случае утвердительного ответа укажите их количество.(каждый ряд делает свою таблицу).
|
1 ряд |
уравнение |
а | b | с | Исследование дискриминанта | Количество корней |
|
х2-5х+9=0 | — | |||||
|
х2-7х+9=0 | 2 | |||||
|
-3х2+х+3=0 | 2 | |||||
|
х2-8х+16=0 | 1 | |||||
|
14х2+13х-15=0 | 2 |
| 2ряд | уравнение | а | b | с | Исследование дискриминанта | Количество корней |
|
1 |
5х2-6х-8=0; | 2 | ||||
|
2 |
2х2-5х+4=0; | — | ||||
|
3 |
9х2+6х+1=0; | 1 | ||||
|
4 |
3х2-4х+7=0; | — | ||||
|
5 |
х2-2х-15=0. | 2 |
| 3 ряд | уравнение | а | b | с | Исследование дискриминанта | Количество корней |
|
1 |
2х2-7х+3=0; | 2 | ||||
|
2 |
2х2+3х-5=0; | 2 | ||||
|
3 |
3х2-х+2=0; | — | ||||
|
4 |
х2-12х+36=0; | 1 | ||||
|
5 |
х2+3х-10=0. | 2 |
| 4 ряд | уравнение | а | b | с | Исследование дискриминанта | Количество корней |
|
1 |
2х2+7х+5=0; | 2 | ||||
|
2 |
3х2-4х-7=0; | 2 | ||||
|
3 |
5х2+6х+8=0; | — | ||||
|
4 |
х2+6х+9=0; | 1 | ||||
|
5 |
х2-5х-14=0. | 2 |
б) Решение квадратных уравнений на скорость(какой ряд быстрее и правильнее справится с заданием):
1) 2х2-6х+4=0; (х1=1, х2=2)
2) 3х2-7х-6=0; (х1=3, х2=-2/3)
3) 2х2-5х-7=0; (х1=-1, х2=3,5)
4) 3х2+х-2=0; (х1=-1, х2=2/3)
5) х2+3х-10=0; (х1=-5, х2=2)
6) х2-х-90=0; (х1=10, х2=-9)
7) х2+4х-5=0; (х1=1, х2=-5)
8) х2-х-110=0; (х1=11, х2=-10)
9) х2-2х-15=0; (х1=5, х2=-3)
10) х2+17х+70=0. (х1=-7, х2=-10)
7. Итог урока:
1. Какие уравнения мы сегодня с вами решали?
2. С помощью чего мы их решали?
3. Если дискриминант равен 0, то что можно сказать о корнях уравнения?
4. Если дискриминант больше 0?
5. Если дискриминант меньше 0?
6. По каким формулам можно найти корни уравнения?
8. Выставление оценок:
Учитель суммирует баллы за каждый пройденный этап. Объявляется ряд-победитель.
Ученики сами оценивают работу каждого ученика, комментируют результат. Учитель подводит итог урока, поддерживает и подбодряет всех детей, отмечает все лучшее у проигравших. По возможности необходимо отметить каждого ученика, с тем, чтобы создать положительную мотивацию на дальнейшее изучение математики, чтобы каждому хотелось работать лучше.
9. Домашнее задание:
а) вывод формул корней квадратного уравнения.
б) Решить уравнения, заполнить таблицу и постараться увидеть закономерность между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.
| Уравнение | Корни х1 и х2 |
Сумма корней х1+ х2 |
Произведение корней х1* х2 |
|
1) х2-2х-3=0; 2) х2+5х-6=0; 3) х2-х-12=0; 4) х2+7х+12=0; 5) х2-8х+15=0. |
г) № 534 из учебника.
Тема урока: Решение квадратных уравнений по формуле.(2 урок)
Цель урока:
Закрепление навыка решения квадратных уравнений различного типа разными способами по формулам, отработка навыков при решении уравнений;
Развитие логического мышления., формирование навыков решения квадратных уравнений;
Воспитание активности, желания работать до конца, содействовать побуждению интереса к математике.
Ход урока: I. Орг. Момент, тема, цель урока.
IIПовторение изученного на прошлом уроке:
1. Какие уравнения называются квадратными?
2. Какие виды неполных квадратных уравнений существуют? Как они решаются? Приведите примеры.
3. С помощью чего решить квадратное уравнение?
4. Если дискриминант равен 0, то что можно сказать о корнях уравнения?
5. Если дискриминант больше 0?
6. Если дискриминант меньше 0?
7. По каким формулам можно найти корни уравнения?(записать на доске все известные формулы и доказать их- 2 уч-ся)
8. Какие уравнения называются приведенными? Почему? Приведите примеры.
9. Устно решить неполные квадратные уравнения:
2х2+6х=0;
7х2=0;
7х2-14=0.
10. Найти дискриминант и число корней квадратных уравнений:
х2+5х-1=0;
3х-2х2+19=0;
х2+7-4х=0;
11. После устного счета учащиеся проверяют домашнее задание в тетрадях и на доске, исправляя при необходимости ошибки, задавая отвечающим вопросы.
III Математический диктант.
Один ученик работает за доской, в это же время двое учащихся работают у доски по карточкам.
1. Вычислите дискриминант квадратного уравнения:
3х2-8х-3=0 (100);
2. Найдите корни квадратного уравнения:
3х2-8х-3=0; (х1=3, х2=-1/3)
3. При каком условии полное квадратное уравнение имеет единственный корень?
4. При каком условии полное квадратное уравнение не имеет корней?
5. Решите уравнение:
х2-4х+9=0; (корней нет)
(после диктанта ребята меняются тетрадями и проверяют задания друг у друга, ставят оценки; проверяют решение на доске, исправляют ошибки, задают вопросы тем, кто у доски, ставят оценки).
Также надо проверить решение тех учащихся, которые по карточкам решали.
Карточка №1:
1. Решить уравнение:
х2-5х+4=0; (х1=4, х2=1)
2. При каком значении р можно представить в виде квадрата двучлена выражение:
а) х2+рх+9; (р=6)
б) х2-2х-р. (р=-1)
Карточка №2:
1. Решить уравнение:
3х2-х-2=0; (х1=1; х2=-2/3)
2. При каком значении а уравнение имеет один корень?
х 2+ах+16=0; (а=±8).
IVЗакрепление темы. Работа по учебнику.
Эта работа проводится в двух вариантах, обычно по рядам. На доске записано задание для каждого варианта. Ученики работают в тетрадях; У доски работают 2 ученика, выполняющие разные задания. Учитель просматривает решения, задает вопросы, обращаясь к группе, представитель которой работает у доски, выставляет отвечающему оценку.
а )1 вариант решает №641 (а, б) (а: х1=-1; х2= -3/4)
(б: х1=7; х2=-8);
2 вариант решает №545 (а, б) (а: 3;-8)
(б: 4; 1 ¾)
б) Решение квадратных уравнений на скорость(какой ряд быстрее и правильнее справится с заданием):
1) 2х2-6х+4=0; (х1=1, х2=2)
2) 3х2-7х-6=0; (х1=3, х2=-2/3)
3) 2х2-5х-7=0; (х1=-1, х2=3,5)
4) 3х2+х-2=0; (х1=-1, х2=2/3)
5) х2+3х-10=0; (х1=-5, х2=2)
6) х2-х-90=0; (х1=10, х2=-9)
7) х2+4х-5=0; (х1=1, х2=-5)
8) х2-х-110=0; (х1=11, х2=-10)
9) х2-2х-15=0; (х1=5, х2=-3)
10) х2+17х+70=0. (х1=-7, х2=-10)
7. Итог урока:
1. Какие уравнения мы сегодня с вами решали?
2. С помощью чего мы их решали?
3. Если дискриминант равен 0, то что можно сказать о корнях уравнения?
4. Если дискриминант больше 0?
5. Если дискриминант меньше 0?
6. По каким формулам можно найти корни уравнения?
8. Выставление оценок:
Учитель суммирует баллы за каждый пройденный этап. Объявляется ряд-победитель.
Ученики сами оценивают работу каждого ученика, комментируют результат. Учитель подводит итог урока, поддерживает и подбодряет всех детей, отмечает все лучшее у проигравших. По возможности необходимо отметить каждого ученика, с тем, чтобы создать положительную мотивацию на дальнейшее изучение математики, чтобы каждому хотелось работать лучше.
9. Домашнее задание:
а) вывод формул корней квадратного уравнения.
б ) №546 (а, в), 548.
Урок – практикум (3 урок) по теме «Решение квадратных уравнений по формуле».
Цель:
Закрепление навыка решения квадратных уравнений различного типа разными способами по формулам, отработка навыков при решении уравнений;
Развитие логического мышления.,
Воспитание активности, желания работать до конца, содействовать побуждению интереса к математике.
Ход урока: IОрг. Момент, тема, цель.
IIУстный счет, повторение теории, подготовка к проверочной работе:
1. Какие уравнения называются квадратными?
2. как называется выражение в2-4ас?
3. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если значение дискриминанта положительно?
4. … отрицательно?
5…. Равно 0?
6. По каким формулам находятся корни квадратных уравнений в первом и последнем случае?
7. Решите устно уравнения:
х2-25=0;
х2-7х=0;
х2+9=0;
х2-19=0;
8х2=0.
8. Имеет ли квадратное уравнение корни и если имеет, то сколько:
4х2-12х+9=0;
2х2+3х-9=0;
5х2-х+2=0;
2х+3х2-2=0;
х2+7х-1=0;
25х2+10х+1=0.
9. При каких значениях с уравнения имеют один корень:
2х2-2х+с=0;
сх2-6х+3=0.
III. Проверочная работа обучающего характера. Цель работы- проверить уровень сформированности навыка решения квадратных уравнений по формуле.
|
Решить уравнения: № 1. 1) 3х2-5х+2=0; 2) 3х2-16х+13=0; 3) 5х2-4х-12=0; 4) 4х2+10х-6=0; 5) х2-9х+8=0; 6) х2-х-6=0; 7) х2-16х+55=0; 8) х2+2х-35=0; 9) х2-20х+91=0; 10) х2+16х+63=0 . |
Решить уравнения: № 2. 1) 5х2-3х-8=0; 2) 7х2+2х-9=0; 3) 3х2-4х-39=0; 4) 3х2-8х+5=0; 5) х2-8х+7=0; 6) х2-4х+3=0; 7) х2-6х+8=0; 8) х2-3х-18=0; 9) х2+6х+8=0; 10) х2+3х-10=0. |
Решить уравнения: №3. 1) 2х2-7х+3=0; 2) 2х2+3х-5=0; 3) 3х2-х-2=0; 4) 5х2-х-6=0; 5) х2+3х-10=0; 6) х2-3х+2=0; 7) х2+19х+34=0; 8) х2-22х+105=0; 9) х2+17х+60=0; 10) х2+х-6=0. |
|
Решить уравнения: №4 1) 2х2-6х+4=0; 2) 3х2-7х-6=0; 3) 2х2-5х-7=0; 4) 3х2+х-2=0; 5) х2+3х-10=0; 6) х2-х-90=0; 7) х2+4х-5=0; 8) х2-х-110=0; 9) х2-2х-15=0; 10) х2+17х+70=0. |
Решить уравнения: №5 1) 5х2-6х-8=0; 2) 2х2-5х+2=0; 3) 2х2-7х+5=0; 4) 3х2+4х-7=0; 5) х2-2х-15=0; 6) х2-4х-21=0; 7) х2+10х-600=0; 8) х2+5х-14=0; 9) х2+12х+35=0; 10) х2+х-20=0. |
Решить уравнения: №6 1) 2х2+7х+5=0; 2) 3х2-4х-7=0; 3) 5х2+6х-8=0; 4) 2х2+5х+2=0; 5)х2-5х-14=0; 6) х2-12х+35=0; 7) х2-х-20=0; 8) х2+2х-15=0; 9) х2+4х-21=0; 10) х2-10х-600. |
|
Решить уравнения: №7 1) 2х2+5х-7=0; 2) 3х2-х-2=0; 3) 2х2+6х+4=0; 4) 3х2+7х-6=0; 5) х2+х-110=0; 6) х2+2х-15=0; 7) х2-17х+70=0; 8) х2-3х-10=0; 9) х2+х-90=0; 10) х2-4х-5=0. |
Решить уравнения: №8 1) 3х2+х-2=0; 2) 5х2+х-6=0; 3) 2х2+7х+3=0; 4) 2х2-3х-5=0; 5) х2+22х+105=0; 6) х2-17х+60=0; 7) х2-х-6=0; 8) х2-3х-10=0; 9) х2+3х+2=0; 10) х2-19х+34=0. |
Решить уравнения: №9 1) 3х2+4х-39=0; 2) 3х2+8х+5=0; 3) 5х2+3х-8=0; 4) 7х2-2х-9=0; 5) х2+3х-18=0; 6) х2-6х+8=0; 7) х2-3х-10=0; 8) х2+8х+7=0; 9) х2+4х+3=0; 10) х2+6х+8=0. |
|
Решить уравнения: №10. 1) 4х2-10х-6=0; 2) 5х2+4х-12=0; 3) 3х2+5х+2=0; 4) 3х2+16х+13=0; 5) х2-2х-35=0; 6) х2+20х+91=0; 7) х2-16х+63=0; 8) х2+9х+8=0; 9) х2+х-6=0; 10) х2+16х+55=0. |
IV. Закрепление темы: №541, 550(1 ст).
V. Подведение итогов урока, устное решение уравнений 1 варианта.
VI. Домашнее задание :( поуровневое):
1 уровень:
1) Решите уравнения:
а) 5х2-25х=0;
б) 100х2-16=0;
в) 3х2-11х-4=0;
г) х2-3х+1=0;
д) 2х2=5х+9= х+2;
е) (х-4)(4х+6)= (х-5)2;
ж) (х-3)(2х+10)=(2+х)2;
2) При каком значении с уравнение имеет один корень: а) 2х2-2х+с=0; б) сх2-6х+3=0?
3) №542(2 ст)
2 уровень:
1) Решить уравнения:
а) 8х2+2х=0;
б) 9х2-25=0;
в) 3х2+14х-5=0;
г) х2-5х+5=0;
д) 4х2+4х+4= х+3.
2) №542(1 ст).
Тема урока «Решение задач с помощью квадратных уравнений»
Цель:
Совершенствовать навык составления уравнений по условиям задач,
Развивать умение проверять соответствие найденного решения условиям задачи;
Воспитывать активность, умение выслушивать других.
Ход урока: I. Орг момент, тема, цель.
II. Анализ ошибок, допущенных в проверочной работе с теми, кто допустил ошибки:
1) Повторить формулы, по которым решаются квадратные уравнения;
2) Решить уравнения:
а) ½ х2-2х+8=0;
б) ¼ х2-3х+9=0;
в) у2-у-30=0;
г) (2х-1)2-4х=13;
д) 3х2-х+4=0.
Те, кто получил оценку «5», выполняют тесты:
1) Укажите в квадратном уравнении коэффициент b: х2+3-4х=0:
а) 1; б) -4; в) 3; г) 4.
2) Среди чисел -3; 3; -4; -1 найдите корень уравнения: х2+5х+6=0:
а) -3; б) 3; в) -4; г) -1.
3) Решите уравнение: (х-2)(х+2)=4:
а) 6;4; б) нет решений; в) 0; 4) 2√2;-2√2.
4) Найдите корни уравнения: -х2+3=7х+3:
а) 7; б) 0;-7; в) нет решений; г) 0;7.
5) Выделите квадрат двучлена в выражении: х2+8х+15.
а) (х+84)2-16; б) (х+2)2+4; в) (х+4)2-1; г) (х+4)2+1.
III. Изучение темы, повторение изученного ранее.
1) Составьте уравнение по условию задачи:
а) Одно число больше другого на 5, а их произведение равно 138. найдите эти числа.
б) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см. Найдите катеты, если один из них на 2 см меньше другого.
в) Найдите два последовательных целых числа, произведение которых равно 380.
г ) Периметр прямоугольника равен 40 см, а его площадь 600 см2. Найдите стороны прямоугольника.
Два из уравнений решить в классе, два оставить на дом.(все уравнения составляются в классе).
Обобщение темы, вывод:
Прежде, чем составить уравнение к задаче, нужно знать, что лучше обозначить за х, затем в соответствии с условием задачи составить уравнение и решить его.
Необходимо обратить внимание на то, что при решении уравнения может получится 2 решения, нужно еще раз посмотреть, что мы нашли и сопоставить решение с условием задачи, неподходящий ответ следует исключить.
IV. Закрепление темы: №556; №558.
V. Подведение итогов: рассказать алгоритм решения задач с помощью квадратных уравнений.
VI. Задание на дом: №557, №559, дорешать задачи, начатые в классе.
Урок №2 по теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений».
Цель:
Совершенствовать навык составления уравнений по условиям задач, развивать умение проверять соответствие найденного решения условиям задач, отработка навыков решения квадратных уравнений по формулам, развитие логического мышления каждого учащегося, его памяти и внимания; воспитывать любовь к предмету, прививать навыки красиво и правильно оформлять и решать задачу.
Ход урока: I. Орг. Момент, тема, цель.
II. Устная работа:
1) Решить неполные квадратные уравнения:
а) х2+3х=0; б) 5х2=3х; в) у2-121=0; г) 1/3 х2-2=0.
2) Является ли число 1 корнем квадратных уравнений:
а) 5х2-2х-3=0; б) х2-5х+4=0; в) -2х2+13х-11=0; г) 167х2-165х-2=0; д) 200х2+201х+1=0;
3) Рассказать алгоритм решения задач на составление уравнений.
4) Составьте уравнения для решения задач:
а) Найдите два положительных числа, одно из которых в 2 раза больше другого, а их произведение равно 288.
б) Найдите два положительных числа, одно из которых на 2 больше другого, а их произведение равно 288.
в ) Найдите два положительных числа, одно из которых составляет 80 % другого, а их произведение равно 288.
г ) Найдите два положительных числа, если они относятся как 2:3, а из х произведение равно 288.
III. Закрепление темы, решение интересных задач:
1) На основе статистических данных можно выделить регионы с максимальным сбросом загрязненных вод: это Краснодарский край и Москва. Сколько процентов общего количества загрязненных вод дают эти регионы, вы узнаете, решив уравнение:
х2-19х+88=0. (х1=8; х2=11)
2) Известно, что учет населения проводился в Египте и в Китае еще до нашей эры. Решив квадратное уравнение, вы определите, в каком это было тысячелетии до нашей эры:
4а2-24а+36=0. (х=3).
3) Кислотные осадки разрушают сооружения из мрамора и других материалов. Исторические памятники Греции и Рима, простояв тысячелетия, за последние годы разрушаются прямо на глазах. «Мировой рекорд» принадлежит одному шотландскому городку. Где 10 апреля 1974 г. выпал дождь, скорее напоминающий столовый уксус, чем воду. Решив уравнения, вы прочитаете название этого города. (Питлохри)
| х2=0,49 | корней нет | И |
| х2+16=0 | 28 | Х |
| 2х2-4=0 | 16 | О |
| √х-6=0 | -1;1 | И |
| 2√х-8=0 | -2;-8 | Р |
| √х-3=5 | ±√2 | Т |
| (х+5)2=9 | ±0,7 | П |
| 4х2-4=0 | 36 | Л |
4) Решение задач из учебника:
№563; 565.
IV. Подведение итогов урока, домашнее задание: №564, 566, предварительно разобрать условия задач, подготовить сообщение о жизни и деятельности Ф. Виета.(2 уч-ся)
Тема урока: «Теорема Виета».
|
По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи постоянства такого: Умножишь ты корни – и дробь уж готова! В числителе с, в знаменателе а, А сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь, что за беда! В числителе b, в знаменателе а. |
Цель урока:
Развивать умение доказывать теорему Виета и теорему, ей обратную; ознакомить учащихся с применением этих теорем при решении квадратных уравнений и при проверке найденных решений; развивать навыки использования теоремы Виета, навыки решения квадратных уравнений; воспитывать активность и настойчивость.
Ход урока: I. Орг. Момент, тема, цель.
II. Проверка домашнего задания- самостоятельная работа на 15 минут.
Вариант №1: Решить задачи:
1) Из квадрата задуманного натурального числа вычли 63 и получили число вдвое больше задуманного. Какое число было задумано?
2)Кусок стекла имеет форму квадрата. Когда от него отрезали полоску шириной 1 м, его площадь стала равна 2 м2. Найдите размеры первоначального куска стекла.
Вариант №2: Решить задачи:
1) Из квадрата задуманного числа вычли 10 и получили число, на 2 больше задуманного. Какое число было задумано?
2) Лист жести имеет форму квадрата. Когда от него отрезали полоску шириной 5 см, площадь оставшейся части стала равна 6 см2. Найдите размеряя первоначального куска стекла.
III. Изучение новой темы:
1) Сообщение о жизни и деятельности Ф. Виета.(ученики)
2) Какие уравнения называются приведенными?
3) Заполнить таблицу, решив квадратные уравнения: (задание выполняется на скорость, затем проверяются готовые ответы за доской- для каждого квадратного уравнения найдите сумму и произведение корней, результат запишите в таблицу)
| Уравнение | Корни х1 и х2 | Сумма корней х1+ х2 | Произведение корней х1* х2 |
|
1) х2-2х-3=0; 2) х2+5х-6=0; 3) х2-х-12=0; 4) х2+7х+12=0; 5) х2-8х+15=0. | 3;-1 -6;1 4;-3 -4;-3 3;5 | 2 -5 1 -7 8 | -3 -6 -12 12 15 |
4) Сформулировать закономерность между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.(ученики должны увидеть, что сумма корней приведенного квадратного уравнения равна числу, противоположному второму коэффициенту, а произведение корней равно свободному члену)
5) Доказательство теоремы Виета. (производит учитель).
6) Показать ученикам на примере, как применяется теорема Виета, сформулировать теорему, обратную теореме Виета.
IV. Закрепление темы: №573 устно-по цепочке.
Решение №574(1 ст) и №576.
V. Подведение итогов урока:
1) Что нового мы узнали на этом уроке?
2) Попытайтесь без помощи учебника сформулировать теорему Виета; теорему, ей обратную.
3) Всегда ли можно применять теорему Виета? (Когда дискриминант больше или равен 0)
4) Между чем устанавливает зависимость теорема Виета? (зависимость значений коэффициентов от корней квадратного уравнения).
VI. Домашнее задание: №575 и №577.
Размещено в
разделе:
Общеобразовательное учреждение
Учитель
Рабочие программы, тематическое планирование
Алгебра
8 класс
26 января 2014
Дистанционное обучение педагогов по ФГОС по низким ценам
Вебинары, курсы повышения квалификации, профессиональная переподготовка и профессиональное обучение. Низкие цены. Более 19300 образовательных программ. Диплом госудаственного образца для курсов, переподготовки и профобучения. Сертификат за участие в вебинарах. Бесплатные вебинары. Лицензия.
Файлы
Теорема Виета.ppt
Скачать
Рекомендуемая литература
Обсуждение материала
Популярное
Образовательные вебинары
- Вебинар «Игровая деятельность, направленная на развитие социально-коммуникативных навыков дошкольников: воспитываем эмпатию, развиваем умение договариваться и устанавливать контакты, осваиваем способы разрешения конфликтных ситуаций»
- Вебинар «Основные правила и способы информирования инвалидов, в том числе граждан, имеющих нарушение функции слуха, зрения, умственного развития, о порядке предоставления услуг на объекте, об их правах и обязанностях при получении услуг»
- Вебинар «Детская агрессия: нейроигровые приемы обучению саморегуляции, способам выражения гнева в приемлемой форме, формирование позитивных качеств личности»
- Международный вебинар «Формирование креативного мышления как элемента функциональной грамотности на уроках литературного чтения в начальной школе»
- Международный вебинар «Рисование ватными палочками как нетрадиционная техника рисования и метод коррекции психических состояний дошкольников»
- Международный вебинар «Решение задач речевого развития детей в программе “Социокультурные истоки”: работаем в соответствии с ФГОС ДО и ФОП ДО»
Профессионализм преподавателя подчеркивает использование не просто репродуктивного метода изложения, а и внедрение частично - поисковой технологии. Элементы исследовательских работ при разборе нового материала позволяют продуктивнее организовать деятельность на уроке, вовлечь в работу разных по уровню знаний учащихся, заменить механическое запоминание правил на осмысленное освоение данного раздела математики.
Изложение материала предусматривает последовательное введение основных приемов решения различных квадратных уравнений с соблюдением основных дидактических принципов обучения: наглядность отображения материала, рассмотрение вопросов от простого к сложному, формирование прочности усвоения знаний, доступность изложения материала, систематизация, целеполагание и последовательность изучения вопросов данной темы.
Оформление планов уроков представлено без учета требований ФГОС, но их можно использовать преподавателю в качестве базовой составляющей при подготовке к урокам математики.
Автору следует обращать внимание на требование портала к размещению материалов, текст лучше прикреплять отдельным файлом на данной странице, в колонтитулах следует добавлять логотип портала.