Задачи на проценты (36 ч.)

Пояснительная записка

Задачам на проценты уделяется достаточно много внимания в 6-9 классах средней школы. Однако в программу по математике в старших классах проценты не входят. При такой необязательности математические навыки обращения с процентами легко забываются. В старших классах оперирование с процентами становится прерогативой химии, которая внедряет свой взгляд на проценты через известные диаграммы. Последнее обстоятельство дезориентирует большинство учащихся по вопросам универсальности процентов, сфер их наибольшего применения, алгоритмов разрешения простейших вопросов на проценты.

Согласно Д. Пойа «Одарённый человек действует в согласии с правилами, даже не подозревая об их существовании. Специалист действует в согласии с правилами, не задумываясь над этим, однако при случае он всегда может сослаться на нужное правило, регулирующее его поведение. Начинающий же, стараясь применить некоторое правило, тщательно оценивает его, исходя из своего небольшого опыта». Равно уважая все три категории людей, будем ориентироваться на «начинающихся».

Цель

Познакомить учащихся с математической классификацией типичных задач на проценты.

Основное содержание

Историческая справка. Понятие процента в школьном курсе 1ч.

Сложные проценты 7ч.

Концентрация и процентное содержание 7ч.

Переливание 3ч.

Задачи для самостоятельного решения 15ч.

Зачеты 3ч.

Историческая справка

Проценты были известны индийцам ещё в V в. Это закономерно, так как в Индии с давних пор счёт вёлся в десятичной системе счисления. В Европе десятичные дроби появились на тысячу лет позже, их ввёл бельгийский учёный С. Стевин. В 1584 г. Он впервые опубликовал таблицу процентов.

Введение процентов оказалось удобным не только для оценки содержания одного вещества в другом. В процентах стали измерять изменение производства товара, рост денежного дохода и т.д.

Со временем люди научились извлекать из вещества его компоненты, составляющие тысячные доли от массы самого вещества. Тогда, чтобы не вводить нуль и запятую, ввели новую величину – промилле – тысячную долю, которую обозначили знаком / и вместо 0,6 % стали писать 6/. Однако эту величину постоянно применяют лишь в некоторых областях техники, а в большинстве случаев используют десятые и сотые доли процента.

Понятие процента в школьном курсе

Все задачи на проценты сводятся к разрешению двух вопросов:

1. Вычисление количеств по процентам

2. Вычисление процентов по количеству

Из школьного курса нам известны следующие типы задач:

1. Найти Р % от А: А · = А · 0,01Р.

Пример: Найти 10% от 200?

200 · 0,1 = 20

2. Найти целое, если Р % от него есть А? А : = А : 0,01Р

Пример: 10% есть 200. Найти целое?

200 : 0,01 = 2000

3. Сколько процентов А составляет от В? · 100%

Пример: Сколько % составляет 20 от 200?

20 : 200 · 100% = 10%

4. На сколько процентов А больше В? · 100%

Пример: А = 200, В = 20. На сколько А больше В?

· 100% = 900%

5. На сколько процентов А меньше В? · 100%

Пример: А = 20, В = 200. На сколько процентов А меньше В?

· 100% = 90%

Сложные проценты

Формулы сложных процентов (цена, банк, рост населения и т. д.)

а) Пусть некоторая начальная величина А_н увеличивается (уменьшается) на Р% n раз. Тогда конечное значение А_к находится по формуле

А_к = А_н (1 ± )ⁿ или А_к = А_н (1 ± 0,01Р)ⁿ

б) Пусть некоторая начальная величина А_н увеличивается (уменьшается) на Р₁%, Р₂%,…Р_n %, тогда

А_к = А_н (1 ± )(1 ± )…(1 ± )

в) Пусть некоторая начальная величина А_н увеличивается (уменьшается) до значения А_к, тогда общий Р% изменения:

Р% = ( – 1) ·100% (прирост)

Р% = (1 – ) · 100% (снижение)

Примеры задач

1. Цена товара после последовательных двух понижений на один и тот же процент уменьшилась со 125 рублей до 80 рублей. На сколько процентов цена снижалась каждый раз?

Решение:

А_к = 80, А_н = 125, n = 2. Р – ?

А_к = А_н (1 – 0,01Р)

80 = 125(1 – 0,01Р)

Ответ: Р = 20%

2. Цену товара снизили сначала на 20%, потом на 5% и ещё на 10%. На сколько снизили цену?

Решение:

= (1 – 0,2)(1 – 0,1)(1 – 0,05) = 0,684

Р = (1 – 0,684) · 100% = 31,6%

Ответ: Р = 31,6%

3. В банк поместили некоторую сумму и через два года она выросла на 512,5 рублей. Сколько денег положили в банк, если вкладчикам выплачивается 5% годовых?

Решение:

А_к = А_н + 512,5

= (1 + 0,05)²

Ответ: А_н = 5000

4. Предприятие работало два года. В первый год выработка возросла на Р%, во второй на 10% больше, чем в первый. Определить на сколько процентов увеличилась выработка за второй год, если за два года она увеличилась на 48,59 %.

Решение:

(1 + )(1 + ) = 1,4859

Р = 17%

Ответ: за второй год выработка увеличилась на 27%.

5. Сберкасса начисляет 3% от суммы вклада. Через сколько лет сумма удвоится?

Решение:

А_к = 2А_н

2 А_н / А_н = (1 + 0,03)ⁿ

Ответ: n ≈ 23 года

Концентрация и процентное содержание

Р% – процентное содержание 70%

– концентрация 0,7

Пример: Пусть в 10 литрах солёной воды содержится соли 15% (концентрация 0,15) Сколько соли в растворе?

10 · 0,15 = 1,5 кг.

При решении задач этого типа удобно пользоваться следующим алгоритмом.

Введём обозначения:

С – смесь, сплав, раствор, мокрое вещество

К – концентрация

М – масса чистого вещества

Между ними существуют зависимости: К = С = М = С · К

Алгоритм решения задач на концентрацию

Состояние вещества		I	II	III
Смесь	С
Концентрация	К
Масса чистого вещества	М

Примеры задач

1. Имеется 40 литров 0,5% раствора и 50 литров 2% раствора уксусной кислоты. Сколько нужно взять того и другого, чтобы получить 30 литров 1,5%-го раствора уксусной кислоты.

Решение:

Состояние вещества	I	II	III
С	х	30 – х	30
К	0,005	0,02	0,015
М	0,005х	0,02(30 – х)	30 · 0,015

0,005х + 0,02(30 – х) = 30 · 0,015

х = 10 литров

Ответ: 10 литров, 20 литров.

2. Имеется два сосуда, содержащие 4кг и 6кг раствора кислоты разной концентрации. Если их слить, то получится 35% раствор. Если слить равные массы этих растворов, то получится 36% раствор. Найти концентрацию каждого раствора?

Решение:

Состояние вещества	I	II	III
С	4	6	10
а) К	0,01р1	0,01р2	0,35
М	4 · 0,01р1	6 · 0,01р2	10 · 0,35
б) К	0,01р1	0,01р2	0,36
М	0,01р1	0,01р2	2 · 0,36

Ответ: р₁ =41%, р₂ =31%.

3. Влажность сухого цемента на складе 18%. Во время дождей влажность повысилась на 2%. Какова стала масса цемента, если его было 400кг.

Решение:

Состояние вещества	I	II
С	400	х
К	0,82	0,8
М	400 · 0,82	0,08х

400 · 0,82 = 0,8х

Ответ: х = 410кг.

4. Из 38 тонн руды, содержащей 25% примесей получили 30 тонн металла. Сколько процентов примесей содержит металл?

Решение:

Состояние вещества	I	II
С	38	30
К	0,75
М	38 · 0,75	30 ·

38 · 0,75 = 30 ·

Ответ: р=95% – содержание металла, р = 5% – содержание примесей.

5. В 4кг сплава меди и олова содержится 40% олова. Сколько кг олова надо добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание было 70%?

Решение:

Состояние вещества	I	II	III
С	4	х	4 + х
К	0,4	1	0,7
М	4 · 0,4	х	0,7(4 + х)

4 · 0,4 + х = 0,7(4 + х)

Ответ: х = 4

6. Имеется два сплава золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2 : 3, в другом 3 : 7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8кг нового сплава, в котором эти металлы были бы в отношении 5 : 11?

Решение:

Состояние вещества	I	II	III
С	х	8 – х	8
Золото К
М	· х	(8 – х) ·	8 ·

х + (8 – х) = 8 ·

х = 1

Ответ: золота – 1кг, серебра – 7кг.

Переливание

А_н – начальное количество раствора

А_к – конечное количество раствора

а – количество отлитых литров

n – количество переливаний

К – концентрация

А_к = А_н (1 – )^n; К = = (1 – )ⁿ

Примеры задач

1. В сосуде 12 литров кислоты. Часть кислоты отлили и долили водой. Затем опять столько же отлили и долили водой. Концентрация кислоты стала 0,25. Сколько литров отливали каждый раз?

Решение:

К = 0,25, А_н = 12; 0,25 = (1 – )²

Ответ: а = 6 л.

2. В сосуде х литров глицерина. Отлили два литра, добавили воды. Сделали так три раза. Воды получилось на три литра больше, чем глицерина. Сколько глицерина было в сосуде?

Решение:

А_н = х, а = 2, n = 3,

А_к =

= (1 – )³

х = 4

Ответ: 4 литра.

Задачи для самостоятельного решения.

Сложные проценты.

1. Стоимость товара снизили на 25%, а затем ещё на 5%. Сколько % от первоначальной стоимости составит окончательная стоимость товара? На сколько % снижена, в общем, стоимость товара?

Решение

= (1 – 0,125)(1 – 0,05) = 0,836

0,836 · 100% = 83,6%

Р = (1 – 0,836)·100% = 16,4%

Ответ: 16,4%

2. Некоторое число уменьшили на 25%. На сколько процентов нужно увеличить получившееся число, чтобы получить первоначальное?

Решение

(1 – 0,25)(1 + 0,01Ро) = 1

1 + 0,01P = 1 : 0,75;

0,01P = ;

P = 33,3.

Ответ: 33,3.

2. На сколько процентов увеличится площадь квадрата, если его периметр увеличить на 10 %?

Решение

P₁ = 4а P₂ = 4,4a x – сторона

х = 1,1а S₁ = a S₂ = 1,21a²

1,21 · 100% = 121%;

121% – 100% = 21%;

Ответ: 21%;

2. На сколько процентов изменится площадь прямоугольника, если длина его увеличится на 30%, а ширина уменьшится на 30%?

Решение

= 1,3 · 0,7 = 0,91

P% = (1 – 0,91) · 100% = 9%.

Oтвет: 9%.

2. Цену на пылесос снизили на 10%. Он стоит сейчас 38,7 рублей. Сколько он стоил?

Решение

38,7 = А_н · 0,9. А_н = 43.

Ответ: 43р.

2. Антикварный магазин купил две вазы за 360 рублей. Продав их, получил 25% прибыли. Наценка на первую вазу была 50%, на вторую 12,5%. Найти новую цену ваз.

Решение

х = 120, у = 240, старая цена.

120 · 1,5 = 180; 240 · 1,125 = 270. новая цена.

Ответ:180 р;270р.

2. Рабочий положил в банк 5000 руб. В конце года положил ещё 5000 руб. Ещё через год получил прибыль 15200 руб. Сколько % в год начисляет банк?

Решение

10000 + 50Р – первый год

(10000 + 50Р) + (10000 + 50Р) · 0,01Р – второй год

50Р + (10000 + 50Р) · 0,01Р = 15200,

Р + 300Р – 30400 = 0, Р = 80%.

Ответ: Р = 80%.

2. За пересылку денег на почте берут 2% от переводимой суммы. Какую наибольшую сумму можно перевести, имея 100 руб.?

Решение

х + 0,02х = 100, х = 98,3руб.

Oтвет: 98,3

2. Пусть цены на товар снижались на 20%. На сколько % больше можно купить товара по сниженной цене на отведённую сумму?

Решение

А_к = А_н · 0,8

· 100% = = 0,25

Oтвет: 25%.

2. Число 51,2 трижды увеличено на одно и то же число %, затем трижды увеличили на то же число % и получили 21,6. На сколько % увеличивали, а затем уменьшили число?

Решение

= (1 + 0,01P)³ · (1 – 0,01P)³,

= (1 – (0,01P)²)³,

1 – (0,01P)² = 3/4,

0,01P = 0,5

P = 50%.

Oтвет: 50%.

2. Население города за 2 года увеличилось с 20000 до 22050 человек. Найти средний % прироста.

Решение

= (1 + 0,01P)²

1,05 = 1 + 0,01P

P = 5%.

Oтвет: 5%.

12. Зарплату повысили на Р%, затем ещё раз повысили на 2Р%. В результате она увеличилась в 1,32 раза. На сколько % её увеличили во второй раз?

Решение

1,32 = (1+0,01P) · (1+0,02P)

P = 10%,

2P = 20%.

Oтвет: 10%, 20%.

12. Цена некоторого товара поднялась на 25%, а потом ещё на 30%. Другой товар поднялся в цене на 30% и стал по цене равным первому товару. Какова цена первого товара, если второй до повышения стоил 1,25 тыс. рублей?

Решение

А_н · 1,25 · 1,3 = 1,25 · 1,3.

А_н = 1000

Oтвет: 1000.

12. Антикварный магазин купил два предмета за 225р. и продал их и получил прибыль 40% причём первый дал прибыль 25%, а второй 50%. За сколько купили каждый товар?

Решение

х = 90, у = 135.

Ответ: 90, 135.

12. Цена на товар повысилась на 44%, затем дважды понизилась на Р%. В результате цена оказалась меньше первой на 19%. Найти Р%?

Решение

1,44 · (1 – 0,01P)² = 0,81;

P = 25%;

Oтвет: 25%.

12. После двух последующих повышений зарплата выросла в 1Р. На сколько % повысилась зарплата в первый раз, если во второй она повысилась в процентном отношении вдвое?

Решение

1,875 = (1 + 0,01P) · (1 + 0,02P);

P = 25%;

Ответ: 25%.

12. Выработки продукции за год работы предприятие выросло на 4%, на следующий год на 8%. Определить средний прирост? Общий прирост?

Решение

= 1,04 · 1,08 = 1,1232;

P = 112,32%, общий прирост 12,32% .

= (1 + 0,01P)² ,

P = 5,98% средний прирост

Ответ: 12,32%; 5,98%.

12. В течение года завод увеличивал выпуск продукта на одно и то же число процентов. Ан = 600 изделий, Ак = 726 изделий. Р% = ?

Решение

= (1 + 0,01P)²,

P = 10%.

Ответ: 10%.

12. Некто за зиму поправился на 25%. Весной похудел на 10%, за лето прибавил 15%, осенью похудел на 20%. Похудел или поправился некто? На сколько %?

Решение

= 1,25 · 0,9 · 1,15 · 0,8 = 1,035

Р = 103,5 – 100 = 3,5%

Ответ: 3,5%

12. В начале года стало оленей составлять 3000 голов. В конце года купили 700 голов. В конце второго года в стаде было 4400 голов. Найти естественный % прироста.

Решение

a) 3000 · 0,01P = 30P прирост за первый год.

(3700 + 30З) · 0,01Р = 0,3Р + 37Р прирост за второй год.

б) 4400 – 3000 – 700 = 700 общий прирост.

0,3Р² + 67Р – 700 = 0,

Р = 10%.

Ответ: 10%.

12. Стоимость семидесяти экземпляров первого тома книги и 60-ти второго тома книги составили 230р. В действительности за них уплатили 191р., так как сделали скидку на первый том 15% и на второй 20%. Какова была цена на каждый том?

Решение

х = 2 у = 1,5.

Ответ: 2; 1,5.

12. Третий и четвертый кварталы предприятия повысило производительность труда на 50%. На сколько % оно выпустило бы больше продукции за год, если бы повысили производительность со второго квартала.

Решение

х + х + 1,5х + 1,5х = 5х – за год

х + 1,5х + 1,5х + 1,5х = 5,5х

5,5х – 5х = 0,5х,

· 100% = 10%.

Ответ: 10%.

12. Определить ежегодный прирост населения, если за 2 года оно удвоилось.

Решение

2 = (1 + 0,01Р)²;

Р = 41%.

Ответ: 41%.

12. Цену на товар увеличили на 30%, затем на 20%, потом уменьшились на 50% на сколько % изменилась цена?

Решение

= 1,3 · 1,2 · 0,5 = 0,78.

Р = 100% – 78% = 22%.

Ответ: 22%.

12. Владелец дискотеки повысил цену на 25%, затем вернулся к первоначальной, на сколько % он снизил цену?

Решение

= 1,25(1 – 0,01Р);

А : А = 1,

1 – 0,01Р = 0,8;

Р = 20%.

Ответ: 20%.

12. Торговая база закупила партию альбомов, и поставили в магазин по оптовой цене на 30% больше, чем цена изготовителя магазин установил розничную цену на 20% больше оптовой. В конце сезона цену снизили на 10%. Покупатель купил альбом за 70,2 р. На сколько рублей он заплатил больше по сравнению с ценой изготовителя.

Решение

= 1,3 · 1,2 · 0,9 = 1,404.

А_н = = 50;

70,2 – 50 = 20,2.

Ответ: 20,2.

12. После двух повышений зарплата увеличилась в 1,43р. При этом число процентов, на которые повысилась зарплата во второй раз, были в 3 раза больше, чем в первый. На сколько % повысилась зарплата во второй раз.

Решение

= (1 + 0,01Р) · (1 + 0,03Р),

1 + 0,04Р + 0,01 · 0,03Р² = 1,43,

0,0003Р² + 0,04Р – 0,43 = 0.

Р = 10%,

Р = 20%.

Ответ: 20%, 10%.

12. За первый год предприятия увеличило выпуск продукции на 8%, в следующем году на 25%. На сколько % вырос выпуск продукции по сравнению с первоначальным?

Решение

= (1 + 0,08) · (1 + 0,25) = 1,35

Р = 135% – 100% = 35%.

Ответ: 35%.

12. Цена на товар понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько % понизилась цена по сравнению с первоначальной.

Решение

= (1 – 0,4) · (1 – 0,25) = 0,45.

Р = (1 – 0,45) = 0,55.

Ответ: 55%.

12. После двух снижений на одно и тоже число % цена товара понизилась с 20р. до 16,2р. На сколько % цена снижалась каждый раз.

Решение

= (1 – 0,01Р)²,

1 – 0,01Р = 0,9.

0,01Р = 0,1

Р = 10

Ответ: 10%.

Сплавы.

1. В двух сплавах медь и цинк относятся как 4 : 1 и как 1 : 3. После переплавки 10 кг первого и 16 кг второго и нескольких кг чистой меди, получили сплав, в котором цинк и медь относятся как 3 : 2. Определить вес нового сплава.

Решение

Состояние вещества	I	II	III	IV
С	10	16	х	26 + х
К			1
М	8	4	х	0,6(26 + х)

12 + х = 0,6х + 15,6;

х = 9; 26 + 9 = 35.

Ответ: 35кг.

2. Из двух сплавов первый содержит 7 кг, второй 8 кг меди. Получили новый сплав, содержащий 18% меди. Какое % содержание меди в первом сплаве, если во втором на 20% её больше?

Решение

Состояние вещества	I	II	III
С
К	х	у	0,18
М	7	8	15

х = 12%

Ответ: 12%.

3. Имеется два сплава меди и цинка. Первом меди в 2 раза больше, чем цинка, а во втором – в 5 раз меньше. Во сколько раз больше надо взять второго сплава, чем первого, чтобы получить новый сплав, в котором цинка было бы в 2 раза больше, чем меди.

Решение

Состояние вещества	I	II	III
медь	2х	у	2(2х + у)
цинк	х	5у	х + 5у

(2х + у) · 2 = х + 5у,

х = у,

3х = 6у = 6х.

Ответ: в два раза.

4. Имеются два сплава из цинка, меди и олова. Первый содержит 40% олова, второй 26% меди. Процентное содержание цинка одинаково в обоих сплавах. Сплавив 150 кг первого и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором 30% цинка. Сколько кг олова в новом сплаве?

Решение

Цинк

Состояние вещества	I	II	III
С	150	250	400
К	х	х	0,3
М	150х	250х	120

Олово

Состояние вещества	I	II	III
С	150	250	400
К	0,4	0,44
М	60	110	170

400х = 120 ,

х = 0,3 = 30%.

Ответ: 30%.

5. Вычислить вес сплава серебра с медью, зная, что, сплавив его с 3кг чистого серебра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а, сплавив его с 2кг сплава, содержащего 90% серебра получат сплав, содержащий 84% меди.

Решение

Ситуация первая

Состояние вещества	I	II	III
С	х	3	х + 3
К	0,01у	1	0,9
М	0,01ху	3	0,9(х + 3)

Ситуация вторая

Состояние вещества	I	II	III
С	х	2	х + 2
К	0,01у	0,9	0,84
М	0,01ху	1,8	0,84(х + 2)

х = 3кг, у = 80%..

Ответ: 3кг, 80%.

6. Имеется два слитка сплавов меди и олова. Первый – 3кг содержит 40% меди, второй – 7кг содержит 30% меди. Какой величины нужно взять каждого куска, чтобы получить 8кг сплава, содержащего 32% меди?

Решение

Состояние вещества	I	II	III
С	х	8 – х	8
К	0,4	0,3	0,32
М	0,4х	0,3(8 – х)	8 · 0,32

0,4х + 0,3(8 – х) = 8 · 0,32;

х = 1,6кг.

8 – 1,6 = 6,4кг.

Ответ: 6,4кг.

7. В сплав магния и алюминия, содержащего 22кг алюминия, добавили 15кг магния, после чего содержание магния повысилась на 33%. Сколько весил сплав первоначально?

Решение

Состояние вещества	I	II
С	х	15 + х
К
М	х – 22	х – 7

– = 0,3.

х = 25.

Ответ: 25.

8. Сплав меди и алюминия равен 10кг и содержит 15% меди. Сколько алюминия оказалось в сплаве?

Решение

10 · 0,75 = 7,5.

Ответ: 7,5кг

9. Из 40т железной руды выплавляют 20т стали, содержащей 6% примеси. Сколько % примеси содержится в руде?

Решение

Состояние вещества	I	II
С	40	20
К	х	0,06
М	20 + 1,2	1,2

х = = 53%.

Ответ: 53%.

10. В 100кг сплава меди и цинка содержание меди составляет 45% . Сколько кг чистого цинка надо добавить к сплаву, чтобы количество меди составило 20% количества цинка?

Решение

Состояние вещества	I	II
С	100	100 + х
К	0,45	0,2
М	45	0,2(100 + х)

45 = 0,2(100 + х); х = 125кг.

Ответ: 125кг.

11. В первом сплаве медь и цинк находятся в отношении 1 : 3, во втором 3 : 5. Сколько кг первого сплава надо сплавить с 15кг второго, чтобы в новом сплаве медь и цинк находились в отношении 13 : 27?

Решение

Состояние вещества	I	II	III
С	х	15	15 + х
К
М	х	· 15	(15 + х) ·

х = 10

Ответ: 10.

12. Содержание меди в первом сплаве 20%, а во втором 40% .10кг первого и 7кг второго сплавили с 3кг чистой меди. Определить % содержание меди в сплаве?

Решение

Состояние вещества	I	II	III	IV
С	10	7	3	20
К	0,2	0,4	1	х
М	2	2,8	3	20х

20х = 7,8; х = 0,39 = 39%.

Ответ: 39%.

13. Кусок сплава меди и цинка массой в 36кг содержит 45% меди. Сколько надо добавить к этому сплаву меди, чтобы новый сплав содержал 60% меди?

Решение

Состояние вещества	I	II
С	36	36 + х
К	0,45	0,6
М	36 · 0,45	0,6(36 + х)

36 · 0,45 = 0,6(36 + х)

х = 13,5

Ответ: 13,5.

14. Имеются два слитка меди. Процентное содержание меди в первом слитке на 40% меньше, чем во втором. После того, как оба слитка сплавили, процентное содержание меди стало 36%. Найти процентное содержание в первом слитке и во втором, если в первом было 6кг меди, а во втором 12кг.

Решение

Состояние вещества	I	II	III
С
К	х	0,4 + х	0,36
М	6	12	18

+ = ;

х = 20%; 20% + 40% = 60%.

Ответ: 20%, 60%.

15. Имеется два сплава золота и серебра. В первом их отношение , во втором . На сколько больше надо взять второго сплава, чтобы получить 19г. Сплава, в котором отношение золота и серебра ?

Решение:

Состояние вещества	I	II	III
С	х	у	19
К
М	х	у	7

Ответ: х = 9, у = 10.

16. Имеется два слитка золота и серебра. В первом их отношение 1 : 2, во втором 2 : 3. Если сплавить 1/3 первого слитка и 5/6 второго, то в полученном слитке будет столько золота, сколько в первом было серебра. Если же 2/3 первого сплавить с 1/2 второго, то в получившемся слитке серебра будет на один 1кг больше, чем золота во втором слитке. Сколько золота в каждом?

Решение

Состояние вещества	I	II	III	IV
С	х	у
К
М	х	у	()

() = х

Растворы.

1. В каких пропорциях нужно смешать 50%-ый раствор кислоты и 70%-ый, чтобы получить 65%- й раствор кислоты?

Решение

Состояние вещества	I	II	III
С	х	у	х + у
К	0,5	0,7	0,65
М	0,5х	0,7у	0,65(х + у)

0,15х = 0,05у,

=

Ответ: 1/3.

2. Смешали 30%-ый и 10%-ый растворы соляной кислоты. Получили 600г 15%-ого раствора. Сколько граммов взяли каждого раствора?

Решение

Состояние вещества	I	II	III
С	х	у	600
К	0,3	0,1	0,15
М	0,3х	0,1у	90

х = 150 , у = 450 .

Ответ: 150; 450.

3. Если смешать 8кг и 2кг серной кислоты, то получим 12%-ый раствор. При смешивании двух одинаковых масс тех же растворов, получим 15%-ый раствор. Определить концентрацию каждого.

Решение

Первая ситуация

Состояние вещества	I	II	III
С	8	2	10
К	х	у	0,12
М	8х	2у	1,2

Вторая ситуация

Состояние вещества	I	II	III
С	z	z	2z
К	х	у	0,15
М	zх	zу	0.3z

х = 0,1. у = 0,2.

Ответ: 10% . 20%.

4. К 120г раствора, содержащего 80% соли добавили 480г раствора, содержащего 20% соли. Сколько процентов соли получилось в растворе?

Решение

Состояние вещества	I	II	III
С	120	480	600
К	0,8	0,2	х
М	96	96	600х

600х = 192

х = 0,32 = 32%.

Ответ: 32%.

5. Смешали Р%-ый раствор кислоты с 10%-м и получили 600г 15%-ого раствора. Сколько гр. взяли каждого раствора?

Решение

Состояние вещества	I	II	III
С	х	у	600
К	0,01Р	0,1	0,15
М	0,01Рх	0,1у	90

х = . у = 600 – х

Ответ: , 600 – х.

6. Первый раствор содержит 0,8кг. безводной серной кислоты, а второй 0,6кг. Процентное содержание серной кислоты в первом растворе на 10% больше, чем во втором. Какова масса каждого раствора, если их общая масса 10кг.

Решение

Состояние вещества	I	II	III
С	х	у	10
К
М	0,8	0,6	1,4

х = 4 у = 6.

Ответ: 4: 6.

7. Смешали 10% и 25% растворы соли получили 3кг. 20%-го раствора. Какое количество каждого раствора использовано?

Решение

Состояние вещества	I	II	III
С	х	у	3
К	0,1	0,25	0,2
М	0,1х	0,25у	0,6

х = 1. у = 2.

Ответ: 1; 2.

8. После смешения двух растворов, один из которых содержит 48г, а другой 20г безводного йодистого калия, получили 200г нового раствора. Концентрация первого на 15% больше концентрации второго. Найти концентрацию каждого.

Решение

Состояние вещества	I	II	III
С	х	у	200
К
М	48	20

х = 120. у = 80.

= 0,4 = 40%. = 0,25 = 25%.

Ответ: 40%, 25%.

9. В сосуд ёмкость 6л налито 4л 70%-ого раствора серной кислоты. Во второй сосуд такой же ёмкостью налито 3л. 90%-ого раствора серной кислоты. Сколько литров надо перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нём получился r % раствора серной кислоты.

Решение

Состояние вещества	I	II	III
С	4	х	4 + х
К	0,7	0,9	0,01r
М	2.8	0,9x	2.8 + 0.9x

х =

Ответ: х =

10. Морская вода содержит 5% соли. Сколько пресной воды надо добавить к 30кг. воды, чтобы концентрация соли стало 1,5%.

Решение

Состояние вещества	I	II	III
С	30	х	30 + х
К	0,05	0	0,015
М	30 · 0,05	0	0,015(30 + х)

1,5 = (30 + х) · 0,015.

х = 70.

Ответ: 70.

Сушка.

1. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие 12%. Сколько сухих грибов получится из 22кг.

Решение

Состояние вещества	I	II
С	22	х
К	0,1	0,88
М	2,2	2,2

х = = 2,5. Ответ: 2,5.

2. Яблоки при сушки теряют 84% своей массы. Сколько надо взять свежих яблок что бы приготовить 16кг. сушеных.

Решение

= 100

3. Собрали 140кг. Грибов, влажность которая составляет 98% после подсушивания их влажность снизилась до 93%. Какова стала масса грибов.

Решение

Состояние вещества	I	II
С	140	х
К	0,02	0,07
М	2,8	2,8

= 40. Ответ: 40.

4. 17кг свежих грибов содержат 90% воды, сухие содержат 15% воды. Сколько получится сухих грибов?

Решение

Состояние вещества	I	II
С	17	х
К	0,1	0,85
М	1,7	1,7

= 2кг

Ответ: 2кг.

Переливание.

1. В сосуде 729л чистой кислоты. Отлили а литров, долили водой. Так сделали 6 раз, получили 64л чистой кислоты. Найти а.

Решение

А_к = А_н (1 – )ⁿ

= (1 – )⁶,

а = 243.

Ответ: 243.

2. В сосуде 20 литров спирта. Часть отлили и долили водой. Затем ещё раз отлили и долили водой. После этого в сосуде оказалось спирта втрое меньше, чем воды. Сколько спирта отлили в первый раз?

Решение

А_н =20, А_к =5.

= (1 – )²,

1 – = 0,5. а = 10.

Ответ: 10л.

3. Из бака, наполненного спиртом, вылили часть и долили водой. Опять вылили столько же и долили водой. После этого в баке осталось 49 литров чистого спирта. Вместимость бака 64 литра. Сколько литров вылили в первый раз, и сколько во второй?

Решение

= (1 – )², а = 8л.

= 1 – , а = 7л.

Ответ: 8л., 7л.

4. Из сосуда, вмещающего 30л спирта , отлили некоторое количество его и долили водой, потом отлили смеси на 2л больше. В сосуде осталось 12л чистого спирта Сколько литров жидкости отливали каждый раз.

Решение:

= (1 – )(1 – ).

= (1 – )( – ).

15t² – 29t + 8 = 0. t = , t = .

Ответ: а = 10л.

ЗАЧЕТ ПО ТЕМЕ «СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ»

1. На товар снизили цену на 15% , затем еще на 12%. Какова цена товара, если он стоил 18руб.?

Решение.

Ак = 18 · (1 – 0,15)(1 – 0,12) = 13,464.

Ответ: 13руб.46коп.

2. Первоначальная цена товара 16руб. После двух снижений на одно и то же число процентов цена стала 9руб. На сколько процентов цена снижалась каждый раз?

Решение.

= (1 – 0,01Р);

1 – 0,01Р = ;

0,01Р = 0,25

Р = 25%.

Ответ: 25%

3. Имеется два слитка сплавов меди и олова. Первый содержит 40% меди, второй 32%. Какого веса надо взять куски этих слитков, чтобы после их переплавки получить 8кг. Сплава, содержащего 35% меди.

Решение.

Состояние вещества	I	II	III
С	х	у	8
К	0,4	0,32	0,35
М	0,4х	0,32у	2,8

х = 3кг. у = 5кг.

Ответ: 3кг, 5кг.

4. Имеются два разных сплава меди. В первом меди содержалось на 40% меньше, чем во втором. После того как их сплавили вместе, получили сплав, содержащий 36% меди. Определить процентное содержание меди в первом и втором сплавах, если известно, что меди в первом сплаве было 6кг, а во втором 12кг?

Решение.

Состояние вещества	I	II	III
С			50
К	х	х + 0,4	0,36
М	6	12	18

+ = 50;

50х + 2х – 2,4 = 0;

х = 0,2.

Ответ: 20%, 60%.

5. Один раствор содержит 30%, а второй 55% азотной кислоты. Сколько надо взять первого и второго, чтобы получилось 100 литров 50%-го раствора азотной кислоты?

Решение.

Состояние вещества	I	II	III
С	х	у	100
К	0,3	0,55	0,5
М	0,3х	0,55у	50

х = 20л, у = 80л

Ответ: 20л, 80л.

6. Имеется 5л 70%-го раствора серной кислоты. Сколько литров 80%-го раствора серной кислоты надо долить в этот раствор, чтобы получить 72% раствор серной кислоты?

Решение.

Состояние вещества	I	II	III
С	5	х	5 + х
К	0,7	0,8	0,72
М	3,5	0,8х	0,72(5 + х)

3,5 + 0,8х = 0,72(5 + х);

х = 1,25л

Ответ: 1,25л.

7. Морская вода содержит 5% соли. Сколько кг пресной воды надо добавить, если морской взято 80кг, чтобы содержание соли было 2%?

Решение.

Состояние вещества	I	II	III
С	80	х	80 + х
К	0,05	0	0,02
М	4	0	0,02(80 + х)

0,02 (80 + х) = 4;

х = 120.

Ответ: 120.

8. Из сосуда содержащего 48л спирта и долили водой. Потом еще раз отлили столько же и долили водой. В сосуде осталось 27л чистого спирта. Сколько литров отливали каждый раз.

Решение.

= (1 – )ⁿ;

= (1 – )²;

= (1 – )²;

1 – = ;

а = 12л

Ответ: 12л.

Элективный курс «Проценты на все случаи жизни»

Пояснительная записка

Предлагаемый элективный курс посвящён одной из важнейших тем математики «Процентные исчисления». В рамках общеобразовательной школы процентам уделяется несправедливо мало учебного времени, а, следовательно, уровень знаний, необходимый для приобретения умений, навыков для свободного оперирования ими на уроках математики, химии, физики и просто в быту, оказывается недостаточным. Проценты изучаются на первом этапе основной школы, когда учащиеся в силу возрастных особенностей ещё не могут получить полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни.

Понимание процентов и умение производить процентные расчёты необходимы каждому человеку; прикладное значение этой темы велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни.

Поэтому представляется необходимым возвращение к процентам на старшей ступени.

Элективный курс «Проценты на все случаи жизни» предназначен для реализации в старших классах. Он направлен на удовлетворение познавательных интересов учащихся, имеет прикладное общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, использует целый ряд межпредметных связей. Предлагаемый курс демонстрирует учащимся применение математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого человека, вопросов рыночной экономики и задач технологии производства.

Данный курс должен позволить учащемуся не столько приобрести знания, сколько овладеть различными способами познавательной деятельности. В каждом разделе курса имеются задания на актуализацию и систематизацию знаний учащихся, задачи различного уровня сложности, сюжеты подавляющего большинства которых, в отличие от обычных искусственных текстовых задач, непосредственно взяты из действительности, окружающей современного человека, в том числе и старшеклассника, – финансовая сфера (платежи, налоги, прибыли), демография, экология, социологические опросы и пр. Уровень сложности задач варьируется от простых упражнений на применение изучаемых формул до достаточно трудных примеров расчёта процентов в реальных банковских ситуациях. При постановке и решении задач возникают математические понятия, например, прогрессии, степени с произвольным действительным показателем и логарифмы, что даёт учащимся дополнительную возможность понять их глубинную суть.

Тема «Проценты» является универсальной в том смысле, что она связывает между собой многие точные и естественные науки. У учащихся воспитывается чувство удовлетворения от установленной им возможности приложения математики к другим наукам. Они увидят, что такие, на первый взгляд, «бесполезные» вопросы, как сумма членов арифметической или геометрической прогрессии, имеют глубокий экономический смысл.

Этот курс направлен на то, чтобы вооружить желающих дополнительными знаниями по процентным исчислениям для использования их не только в учебно-познавательном процессе, но и в повседневной жизни – при расчёте выгодности банковской сделки, рентабельности бизнеса, коммерческого предложения.

Содержание курса способствует решению задач самоопределения ученика в его дальнейшей профессиональной деятельности.

Цели курса:

• повторить и привести в систему сведения о процентах;

• создать основу для расширения сюжетов решаемых задач, сближающих содержание школьного курса с практическим приложением математики как науки;

• способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности, развитию практических способностей, необходимых человеку для общей социальной ориентации.

Задачи курса:

• актуализировать ранее изученный и новый материал для обеспечения ученикам достаточно высокого уровня компетентности по этой теме;

• способствовать развитию учащихся в отношении интеллекта, способностей, мотивации, навыков самостоятельной деятельности;

• сформировать умения производить процентные вычисления, необходимые для применения в практической деятельности и для решения задач из смежных дисциплин;

• помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

В результате курса учащиеся должны:

• понимать содержательный смысл термина “процент” как специального способа выражения доли величины;

• знать широту применения процентных вычислений в жизни;

• уметь применять формулы “простых” и “сложных” процентов, формулы массовой концентрации вещества, формулы процентного содержания вещества;

• уметь сочетать устные и письменные приёмы вычислений, использовать приёмы, рационализирующие вычисления.

Программа элективного курса предлагает знакомство с теорией и практикой рассматриваемых вопросов и рассчитана на 34 часа.

Содержание курса

Проценты от числа

Содержание программы

Тема 1. Что надо знать о процентах – 6ч.

Устраняются проблемы в знаниях по решению основных задач на проценты: что такое проценты, как выразить число в процентах, как выразить проценты в десятичной дроби, нахождение процентов от данного числа, нахождение числа по его процентам, процентное отношение двух чисел, изменение величины в процентах, проценты и теория вероятности.

Тема 2. Решение задач с помощью уравнений и неравенств – 3ч.

Сюжеты задач взяты из действительности: демография, экология, социологические опросы и т.д.

Тема 3. Задачи на процентный прирост и вычисление “сложных процентов” – 5ч.

Введение базовых понятий экономики: процент прибыли, стоимость товара, бюджетный дефицит и профицит, изменение тарифов и т. д. Решение задач, связанных с банковскими расчётами.

Тема 4. Задачи на смеси, сплавы, концентрацию и процентное содержание – 5ч.

Концентрация вещества, процентное содержание вещества – введение соответствующих понятий и формул.

Тема 5. Проценты на экзаменах – 5ч.

Задачи, предлагаемые в КИМах на ЕГЭ, на вступительных экзаменах на различные факультеты МГУ и других высших учебных заведений.

Тема 6. Олимпиадные задачи – 3ч.

Обобщение полученных знаний при решении задач на проценты. Задачи школьных математических олимпиад. Задачи региональных математических олимпиад.

Тема 7. Что значит жить на проценты – 3ч.

Стратегия ликвидности, стратегия доходности, цепные вклады, государственные краткосрочные облигации.

Учебно-тематический план

№	Наименование разделов, тем	Количество часов
1. Что надо знать о процентах? – 6ч.
1.1.	Вводный тест по теме «Проценты».	1
1.2.	Что надо знать о процентах?	1
1.3.	Вычисление процентов по количеству, количества по процентам.	1
1.4.	Сколько процентов составляет одно число от другого? Изменение величины в процентах.	1
1.5.	Проценты в статистике	1
1.6.	Основные задачи на проценты.	1
2. Решение задач с помощью уравнений и неравенств – 3ч.
2.1.	Стратегия решения расчётных задач с помощью уравнений.	1
2.2.	Решение задач с помощью уравнений, систем уравнений и неравенств.	1
2.3.	Решение задач с помощью уравнений и неравенств.	1
3. Задачи на процентный прирост и вычисление “сложных процентов” – 5ч.
3.1.	Прикладные задачи	1
3.2.	Формулы сложных процентов в задачах с финансово-экономическим содержанием.	1
3.3.	Распродажа. Тарифы. Штрафы.	1
	Банковские операции. Голосование.	1
	Задачи на процентный прирост и вычисление “сложных процентов”.	1
4. Проценты на экзаменах – 5ч.
4.1.	Арифметическая и геометрическая прогрессии. Простые и сложные проценты.	1
	Решение задач из КИМов ЕГЭ.	1
	Решение экзаменационных задач «на проценты».	1
	Решение экзаменационных задач «на проценты».	1
4.2	Решение экзаменационных задач «на проценты».	1
5. Олимпиадные задачи. – 3ч.
	Примеры олимпиадных задач «на проценты» с решениями.	1
	Олимпиадные задачи «на проценты».	1
	Олимпиадные задачи «на проценты».	1
6. Что значит жить на проценты? – 3ч.
	Стратегия ликвидности, стратегия доходности, цепные вклады, государственные краткосрочные облигации.
	Решение задач.
	Что значит жить на проценты?
7. Проценты в современной жизни. Проценты в мире профессий – 4ч.
	Прикладные задачи «на проценты».	4
Итоговое занятие