Задачи на пропорциональное деление

Одной из основных тем математики 6 класса является тема «Прямая и обратная пропорциональность величин» Эта большая тема состоит из трех частей:

1. Отношения и пропорции

2. Прямая и обратная пропорциональность величин

3. Пропорциональное деление

Если первые две подробно изложены в учебной литературе, и хорошо отрабатываются на большом количестве задач, то третья практически не затрагивается во многих учебных пособиях. В учебниках можно встретить лишь разрозненные задачи с использованием пропорционального деления. Однако выпускные экзамены последних лет заставили обратить внимание на более тщательное, серьезное изучение задач на пропорциональное деление, необходимо также отметить, что пропорциональная зависимость величин является простейшим видом функциональной зависимости, что является пропевдептикой изучения понятия функции в 7 классе.

Изучение задач на пропорциональное деление можно проводить на факультативе; кружке; элективах; выделить в сетке уроков несколько часов, но делать это необходимо, т.к. это существенно облегчает решение любых текстовых задач, в которых даны отношения величин.

I. Прямопропорциональное деление:

Задача 1.

Двое рабочих вместе заработали 12 500 рублей, один работал 4 дня, а другой работал 6 дней, как они должны разделить заработанные деньги?

Прежде всего, в процессе устного обсуждения устанавливается, величины даны - заработок и время работы каждого рабочего. Какая зависимость между этими величинами - прямопропорциональная зависимость

Решение:

I рабочий должен взять 4 такие части общего заработка, каких II рабочий возьмет 6, т.е. заработок I так относится к заработку II как 4:6.если обозначить

заработок I рабочего

заработок II рабочего

можно записать : 4:6 = 2:3,откуда

Задача такого типа называется задачей на прямо пропорциональное деление или в данном отношении.

Далее следует рассмотреть задачу деления числа прямо пропорционально трем и более числам:

Задача 2.

Чтобы приготовить щи из свежей капусты, берут мясо, свежей капусты, помидоров и масло в отношении 25:25: 10:2. Сколько надо взять этих продуктов, если мяса взяли 300 грамм?

Решение:

Удобнее обозначать за в такого рода задачах коэффициент пропорциональности (или величину одной части), тогда

25x (г.) - капуста

25x (г.) - мясо

10x (г.) - помидор

2х (г.) - масло, чувственно, что мяса взяли 300 (г.) или 25х (г.), поэтому

Вычислив коэффициент можно найти массу каждого из продуктов:

25*16 = 300 (г.) – капуста

16*10 = 160 (г.) – помидор

16*2 = 32 (г.) – масло

Не всегда ряд чисел, пропорционально которым мы делили, состоящий из целых чисел, чаще всего это дробные числа, поэтому при дробных отношениях целесообразно избавляться от дробей.

Задача 3.

В тугоплавком стекле содержится кремнезем, известь и поташ в отношение 9:1,7:1,3. Определите вес колбы, сделанной из этого стекла, если она содержит кремнезема на 42,5г больше, чем поташе.

Решение:

Кремнезем : известь : поташ = 9 : 1,7 : 1,3 = 90 : 17 :13

Х – коэффициент пропорциональности, тогда

90Х – кремнезем

17Х – известь

13Х – поташ

Известно, что кремнезема на 38,5 (г.) или (90Х- 13Х) (г.) больше, чем поташе, значит

77x = 38,5

x = 5

Колбаса весит: 90Х+17Х+13Х=120Х => 120*5 = 600 (г.)

Ответ: 600 грамм.

Задача 4.

Разделите 38 груш на три части так, чтобы:

Решение:

Записать отношения в виде одного ряда невозможно, т.к. в первом и втором отношении II части выражено различными числами, поэтому сначала освобождаемся от дробей:

I: II = 32:15

II: III = 1:7

А затем преобразуем, отношения так, чтобы в обеих строчках II части были выражения одинаковым числом, желательно наименьшим, т.е. это является НОК (1:15)=15,

Получаем

I:II=32:15

II: III=15:105

Откуда I: II: III=32:15:105.

Х - коэффициент пропорциональности, тогда:

32Х – I часть груш

15Х – II часть груш

105Х – III часть груш

Всего 38 груш или 32Х+105Х; откуда:

152x = 38

Задачи для самостоятельного решения.

1. Для приготовления пороха берут селитру, серу и уголь, причём вес селитры так относится к весу серы, как 6:1.Вус угля равен весу серы.

Сколько можно получить пороха, если взяли 12 кг. угля.

2. Время от всходов семян до созревания самых ранних сортов дыни, арбузов, помидоров и огурцов относится, как 1,75 : 2,5 : 2 : 1, при этом арбузы созревают на 30 дней позже, чем дыни. Определить период вегетации каждой из указанных культур.

3. Стороны треугольника относятся, как 3,5 : 4,25 : 5,75. Вторая сторона больше первой на 12 см. Определить периметр треугольника.

4. сумма трёх измерений прямоугольного параллелепипеда 2,91 м. Длинна, относится к ширине, как 7:5, а отношение ширины к высоте равно 1,2. Определить объем

параллелепипеда.

5. золота разделить на три части так, чтобы массы их частей относились = 0,04:0,2 = 1.5 : 2

6.Для приготовления фарфора используют глину, гипс и песок в отношении 6,25:0,25:0,5.Сколько весит фарфоровая чашка, если она содержит глины на 184г. Больше, чем песка?

7. Продолжительность года на Меркурии так относится к продолжительности года на Венере, как 11:28, а года на Венере составляет 7 дней. На сколько дней короче год на Меркурии, чем на Земле?

8. Продолжительность жизни обыкновенной ели и липы относятся между собой как 0,6 : 0,5, а продолжительность жизни липы и шиповника относятся, как 5:2. Какова продолжительность жизни каждого из этих растений, если известно, что липа живет на 600 лет больше, чем шиповник?

9. Отношение средней частоты сокращения сердца в 1 минуту у слона, человека и воробья выражается зависимостью 1:4:48,причем у воробья на 792 сокращения больше, чем у человева. Чему равна средняя частота сокращений сердца в 1 минуту у слона, человека и воробья отдельно?

10. Для замазывания повреждений на деревьях используют смесь из канифоли, пчелиного воска и сала в отношении 4:2:1.Сколько надо взять этих веществ, чтобы приготовить 5,6 кг. смеси?

11.Карандаш для писания по стеклу изготовляется из стеарина, говяжьего сала, воска и сурика, взятых в отношении .Сколько надо взять каждого из веществ для приготовления 3,8кг. карандашей?

12. Гигантами в мире животных считают синего кита, акулу, удава-анаконду и гребнистого крокодила, длины, которых относятся как 7 : 3,3 : 2,2 : 2,причем кит длиннее акулы на 18,5м. Чему равна длина каждого из этих гигантов?

13. Охотничий порох состоит из селитры, серы и угля. Вес селитры так относится к весу серы, как 19:2, а вес угля составляет часть веса селитры и серы вместе. Сколько нужно

взять селитры, серы и угля, чтобы получить 10,5 кг. пороха?

14. Длина Дуная относится к длине Днепра как : 5 ,а Длина Дона относится к длине Дуная как 6,5 : 9,5. Найти протяженность каждой из рек, если Днепр длиннее Дона на 300 км.

II. Деление числа на части обратно пропорциональные данным числам.

Обратно пропорциональное деление

Задача 1.

Разделить число 200 обратно пропорционально 3 и 5.

Иная формулировке требования: разделить 200 в отношении, обратном 3 и 5.,т.е. в первом из искомых чисел должно быть пять таких частей, каких во втором три.

Значит: Х1 : Х2 = 5 : 3

Задача 2.

Разделить число 130 обратно пропорционально 2, 3 и 4.

Решение:

Х1 : Х2 = 3 : 2 = 6 : 4

Х2 : Х3 = 4 : 3

Можно свести обратно пропорциональное деление к делению прямо пропорциональному,

т.е. перейдём к одному ряду отношений

Х1 : Х2 : Х3 = 6 : 4 : 3, откуда:

= 60; Х2 = 40; Х3 = 30.

Задача 3.

Раздели 680 обратно пропорционально

Решение:

Х1 : Х2 = = 3 : 2 = 15 : 10

Х2 : Х3 = = 10 : 9

Х1 :Х2 : = 15 : 10 : 9, откуда

Х1 = 300; Х 2= 200; Х3 = 180.

Можно подойти к решению подобных задач по другому. Например, 4:5 отношение чисел, а обратное отношение 5:4, причём 5:4 = , т.е. обратное отношение двух чисел равно отношению чисел, обратных данным.

Например, 420 разделить обратно пропорционально 3;5 и 6

Х1 : Х2 = 5 : 3 = 10 : 6

Х2 : Х3 = 6 : 5 = 6:5

Х1 : Х2 : Х3 = 10 : 6 : 5

откуда,

Но если 420 разделить прямо пропорционально , то

Х1 : Х2 : Х3 = = 10 : 6 : 5

т.е. результат вычисления получится такой же, т.е.

420 разделить 420 разделить

обратно пропорционально прямо пропорционально

3:5 и 6

Вместо того чтобы делить обратно пропорционально данным числам, мы делим прямо пропорционально обратным числам. Результат получается такой же.

Можно сформировать правило: Чтобы разделить число обратно пропорционально данным числам, достаточно разделить его прямо пропорционально обратным числам.

Задача 4. Один рабочий выполняет норму за 6 часов, другой за 5 часов, а третий за 4,5 часа. Работа вместе, они изготовили 795 деталей. Сколько деталей изготовил каждый рабочий!

Решение :

Время работы обратно пропорционально количеству изготовленных деталей.

- количество деталей, изготовленных первым рабочим

- количество деталей, изготовленных вторым рабочим

- количество деталей, изготовленных третьим рабочим

: : = = 15:18:20

Откуда:

Ответ: 225деталий, 270деталий, 300 деталей.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Первый спортсмен пробегает 100м за 12 сек.,а второй за 13 сек.Сколько метров пробежит каждый спортсмен до встречи, если расстояние между ними 200м. и бег они начнут одновременно?

2. Количество этилового спирта, получаемого из 1т. сахарной свеклы,1т. картофеля и 1т. зерна, относится, как 1 : 1,4 : 3,5. На завод было доставлено сахарной свеклы, картофеля и зерна всего 3542 т., из которых было получено по одинаковому количеству спирта. Сколько было отдельно доставлено на завод сахарной свеклы, картофеля и зерна?

3. Три фермерских хозяйства потратили на постройку моста 6 200 000 рублей и разделили эту сумму обратно пропорционально расстоянием хозяйств до моста. Определить расход каждого хозяйства на постройку моста, если первое находится на расстоянии 2 км. от моста, второе на расстоянии 3км. , а третье- 5км.?

4. Первая мельница может смолотить некоторое зерна за 4 дня, вторая это же количество за 7,5 дней, а третья за 8 дней. Как распределить между этими мельницами 124 т. зерна, чтобы они одновременно начали и закончили помол зерна?

III. Сложное тройное правило.

Задачи с более сложной пропорциональной зависимостью получили когда-то задач на сложное тройное правило, например:

Задача1.

На железной дороге работали две бригады в одной 15 человек, а во второй 12 человек, первая бригада работала 18 дней, а вторая 25 дней. Первая заработала 97200 руб. Сколько денег заработала вторая бригада?

Здесь уже три величины время работы, количество рабочих и стоимость выполненных работ, причем стоимость работ прямо пропорциональна времени работы и количеству рабочих.Можно решить эту задачу по действиям задавая соответствующие вопросы и записывая ответы.

18дн.	15 чел.	97200 руб.
25дн.	12 чел.	Х руб.

Это окончательная формула для получения ответа задачи:

Т.е. задача решена с постепенным нарастанием формулы для Х.

Задача 2.

На пошив 8 пальто ушло 50 м. ткани шириной 1,2 м.Сколько ткани потребуется на пошив 4 пальто , если ширина ткани 0,9 м.?

8 пальто	50м	1,2 ширина
4 пальто	Хм	0,9 ширина

Длина материи прямо пропорциональна числу пальто и обратно пропорциональна ширине материи.

Задача 3.

В книге 156 страниц, на каждой странице 42 строки и в каждой строке 27 букв. В новом издании на странице помещали по 54 строки и в строке 36 букв. Сколько страниц имело новое издание книги?

156 стр.	42 строки	27 букв
Х стр.	54 строки	36 букв

Сразу можно составить формулу:

Следовательно:

Задача 4.

На прокорм 8 лошадей в течение 30 дней нужно 2880кг. сена. На сколько дней хватит 4800 кг. сена для прокорма 10 лошадей?

8 лошадей	30 дней	2880 кг. сена
10 лошадей	Х дней	4800 кг. сена

Задача 5.

9 рабочих выполнили работы. Сколько надо добавить еще рабочих,

Чтобы вся работа была выполнена за 20 дней?

9 рабочих	14 дней	работы
Х рабочих	6 дней	работы

– объем работы, выполненной 1 рабочим за 1 день,

Надо добавить 6 человек.

Можно решить эту задачу способом составления пропорции. Временно исключаем третью величину,т.к. в пропорцию входят только две величины.

Составим другую задачу:

9 рабочих выполнили работы, за сколько дней они выполнят оставшиеся работы?

14 дней	частей
Х дней	частей

Прямо пропорциональная зависимость между объемом работы и временем ее выполнения

14: =7:5

=10

Теперь имеем другую задачу:

9 рабочих выполнили работу за 10 дней. Сколько рабочих выполнят ее за 6 дней?

9 рабочих	10 дней
Х рабочих	6 дней

9:Х=6:10

Х=15

Т.е. необходимо добавить еще 6 человек.

Задачи для самостоятельного решения:

1. За автопогрузчиков разгрузили склад за 10 дней работая по 8 часов в день. По скольку часов в день должны работать 24 автопогрузчика , чтобы разгрузить склад за 12 дней?

2. Кусок ткани 65 м. длины и 1,25 м. ширины стоит 37500 рублей. Сколько стоит другой кусок такой же ткани длиной 91 м. и шириной 1,45 м.?

3. Бригаде работавшей в составе 40 человек в течение 25 дней по 8 часов в день заплатили 320000 рублей. Сколько денег надо выдать на заработанную плату бригаде, если рабочих в ней будет в 1,2 раза больше, и они будут работать 20 дней по 6 часов в день, но почасовая оплата будет на 15 % больше?

4. 5 штукатурщиков могут отштукатурить за 4 дня 480 стены. За сколько дней 8 штукатурщиков могут отштукатурить 540 стены?

VI. Задачи на проценты и пропорциональное деление.

Наиболее популярными являются задачи на пропорциональное деление в комбинации с процентными вычислениями.

Задача 1.

Стоимость первой книги относится к стоимости второй как , а

Стоимость второй книги к стоимости третьей книги как . Сколько стоит каждая

Книга, если 85% стоимости третьей книги составляет 122,4 рубля?

Решение:

Т.е. цены книг относятся как 15 :20 :24,

пусть Х – коэффициент пропорциональности, тогда

15Х- цена 1 книги

20Х- цена 2 книги

24Х- цена 3 книги

85% цены 3 книги или 0,85*24Х составляют 122,4 рубля.

20,4Х=122,4

Х=6, откуда

1 книга стоит 15*6=90(руб.)

2 книга стоит 20*6=120(руб.)

3 книга стоит 24*6=144(руб.)

Ответ : 90 руб.,120 руб.,144 руб.

Задача 2.

Вес скворца относится к весу жаворонка , как 5,5:2 , а вес ласточки составляет 75% веса жаворонка и на 7г. Легче его. Определить вес указанных птиц.

Решение:

Х- коэффициент пропорциональности

5,5Х- вес скворца

2Х- вес жаворонка

0,75*2Х- вес ласточки , но это на 7 г. меньше веса жаворонка, поэтому

2Х-1,5Х=7

0,5Х=7

Х=14

Вес скворца 5,5Х=5,5*14=77(г.)

Вес жаворонка 2Х=2*14=28(г.)

Вес ласточки 1,5Х=1,5*14=21(г.)

Ответ: Скворец 77г., жаворонок 28г., ласточка 21г.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Латунь состоит из меди и цинка , весовые части которых находятся в отношении 3:2.Сколько меди и цинка содержится в латунной статуе, 30% которой весят 21,6 кг.?

2.Высота березы, дуба и ели относятся между собой, как 1:1,4:2.Высота бамбука равна 20 м. и составляет 80% высоты березы. Определить наибольшую высоту березы, дуба и ели.

3. Числа ударов сердца в минуту у лошади и овцы относятся как 11:15, а число ударов сердца в минуту у кошки в 3 1 раза больше , чем у овцы, и на 100 % больше, чем у

5

собаки. Сколько ударов в минуту делает сердце у названных животных, если у собаки число ударов сердца в минуту на 45 ударов больше, чем у овцы?

4. На склад нужно было завести 63,5 т. картофеля. В первый день привезли только 10 % этого количества, во второй 0,3 остатка , а остальное количество картофеля было привезено в три последующих дня, причем количество привезенного картофеля было пропорционально числам ; и . Сколько тонн картофеля завозили каждый день?

5. Количество руды, необходимое для получения 1 т. олова и 1 т. никеля, относится как 1,5:1,а для получения 1 т. меди надо 100 т. руды, что составляет % руды, необходимойдля получения 1 т. олова. Сколько надо руды для получения 1т. указанных металлов?

6. Бетон состоит из смеси цемента, песка и щебня , взятых по объему в отношении 1:2:4.Сколько цемента , песка и щебня надо взять для получения 882 м3 бетона, если выход бетона составляет 63% общего объема составляющих веществ?

7. Часть жизни человек проводит в постели, часть тратит на разговоры, еду и умывание. Остальное время он тратит на работу и другие занятия. Сколько лет человек проводит в постели и сколько лет тратит на разговоры, еду и умывание, если при продолжительности жизни в 70 лет их отношение равно 2 : : : , причем на еду он тратит части своей жизни . Сколько лет человек тратит на работу и другие занятия.

8. Утренний и обеденный удой молока на ферме относились как : , а обеденный

К вечернему , как : .У трений удой переработали на масло и получили всего 25,2 кг.

Сколько всего молока надоили , если выход масла из сливок составил 24 % ,а выход сливок из молока составил 20 %?

V. Задачи на отношение величин и пропорциональное деление.

После того как задачи на пропорциональное деление в достаточном количестве решались в классе, они достаточно легко решаются при проведении итоговой аттестации:

Задача 1. 2003 год.

Кусок сплава меди с оловом массой 15 кг. содержит 20 % меди. Сколько чистой меди необходимо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 40 % олова?

Решение:

Задача на составление обычного отношения величин. Первоначально в сплаве содержалось 15* 0,2=3(кг) меди. Надо добавить Х кг. меди , тогда меди в новом сплаве станет уже 60 % или Х= х+3 , откуда Х=15, т.е. необходимо добавить 15 кг. чистой меди.

15+х

2005год. При покупке ребенку новых лыж с ботинками родителям пришлось заплатить на 35% больше, чем два года назад , причем лыжи подорожали с тех пор на 20 %, а ботинки на 70 %. Сколько процентов от стоимости лыж с ботинками составляла два года назад стоимость лыж?

Лыжи Ботинки Стоимость

было Х Y Х+Y

стало 1,2Х 1,7Y 1,35(Х+Y) или 1,2Х+1,7Y

1,35(Х+Y)=1,2Х+1,7Y

1,35Х+1,35Y=1,2Х+1,7Y

0.15Х= 0,35Y

15Х=0,35Y

или

Стоимость лыж от стоимости лыж с ботинками два года назад составляла

Ответ: 70%

Задача 2. 2006 год.

Набор химических реактивов состоит из трех веществ. Массы первого, второго и третьего веществ в этом наборе относятся как 5:7:10. Массу первого вещества увеличили на 3%,а второго на 5%.На сколько процентов надо уменьшить массу третьего вещества, чтобы масса всего набора не уменьшилась?

Решение:

Пусть Х коэффициент пропорциональности

I II III масса

было 5 Х 7Х 10Х 22Х

стало 1,03*5Х 1,05*7Х 10Х*t 22Х или 5,15Х+7,35Х+10Хt

5,15Х+7,35Х+10Хt=22

12,5+10t =22

10t=9,5

t=0,95

Т.е. массу третьего вещества необходимо уменьшить на 5%.

Ответ: 5%

Задача 3. 2008 год. Объем ежегодной добычи угля первой, второй и третьей шахтами относятся как 13:14:8.Первая шахта планирует уменьшить годовую добычу угля на 2%, а вторая на 1%.На сколько процентов должна увеличить годовую добычу угля третья шахта, чтобы суммарный объем добываемого за год угля не изменился?

Решение:

Пусть Х коэффициент пропорциональности

I II III суммарный объем

было 13 Х 14Х 8Х 35Х

стало 0,98*13Х 0,99*14Х 18Х*t 35Х или 12,74Х+13,86Х+8Хt

26,6Х+8Хt=35Х

8t=8,4

t=1,05

Значит, добычу угля необходимо увеличить на 5%.

Ответ: 5%.

Задачи для самостоятельного решения:

1.Цистерна заполняется керосином за 2 часа с помощью трех насосов, работающих вместе. Производительности насосов относятся как 1:2:7. Сколько процентов объема будет заполнено за 1 час 12 мин. Совместной работы первого и третьего насосов?

2. подарочный набор состоит из трех сортов конфет. Массы конфет первого, второго и третьего сортов в этом наборе относятся как 3:5:14. Массу конфет первого сорта увеличили на 17%, а второго на 15%.На сколько процентов надо уменьшить массу конфет третьего сорта, чтобы масса всего в наборе не изменилась?

3. Объемы ежегодной добычи нефти первой , второй и третьей скважинами относятся как 4:5:7. Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на 7%,а из второй на7%.На сколько процентов надо увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины , чтобы суммарный объем добываемой за год нефти не изменился?

4. Проценты содержания кислоты в трех растворах образуют арифметическую прогрессию . Если смешать первый, второй и третий растворы в весовом отношении 4:3:1 , то получится раствор , содержащий 26,25% кислоты. Если же смешать их в весовом отношении 1:4:3, то получится раствор, содержащий 32,5% кислоты. Сколько процентов кислоты содержит каждый раствор?

5.Проценты содержания спирта в трех растворах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый , второй и третий растворы в весовом отношении 1:3:5, т о получится раствор, содержащий 55% спирта. Если же смешать их в весовом отношении 2:3:4 , то получится раствор , содержащий 47% спирта. Сколько процентов спирта содержит каждый раствор?

Список литературы

1. Сборник задач по математике для поступающих в вузы В.К. Егерёв, В.В.

Зайцев и др. под ред. МИ Сканави

М ООО »Издательский дом» ОНИКС 21век»

2. В.А Игнатьев, Н.И. Игнатьев, Я.А. Шор.

Сборник задач и упражнений по арифметике изд. Москве. Учпедгиз 1955 г.

3. С.А. Понамарёв. Н.И. Сырнев

Сборник задач и упражнений по арифметике для 5-6 классов

Учпедгиз 1961 год.

4. Т.А. Песков, В.К.Совайленко, Д.А.Чураков, А.В. Калинин

Сборник задач по арифметике

Учпедгиз 1961 год

Государственное учебно-педогагическое издательство министерства

просвещений РСФСР Москвы-1963г

5. Е.Н. Соловская «Методические разработки по арифметике»

В Москве Учпедгиз 1959 год.

6. Всероссийская олимпиада по математике III зональный этап 2008-2009 учебный год.

7. математика 2007 вариант задачи по математике на вступительных

экзаменах в РЭА или ГВПлеханова М. издательство «менеджер» 2007 год.

Составляли Гладких И. М , Согитов Р. В, Швед Е. В, Шершнев В. Г.