Учитель: Егорова Елена Николаевна.

Школа № 94, г. Саратов.

Предмет: алгебра и начала анализа

Учебник: Алгебра и начала анализа. 10-1 класс. В 2 ч. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов. – 4-е изд., доп.-М.:Мнемозина, 2010.

Учебный план – 6 часов в неделю (из них 4 ч. - алгебра и начала анализа, 2 ч. – геометрия)

Класс – 11

Тема: Использование свойств функций

Тип урока: Урок совершенствования знаний, умений, навыков.

Оборудование: меловая доска, интерактивная доска.

Цели урока:

• дидактическая: научить применять полученные знания при решении заданий повышенного уровня сложности, стиму­лировать учащихся к овладению рациональными приемами и методами решения; подготовить учащихся к государственной итоговой аттестации и вступительным экзаменам в вузы.

• развивающая: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать формирование мате­матической речи и графической культуры, вырабатывать умение анализировать и сравнивать, синтезировать математические факты при выполнении задания; развивать самостоятельность, гибкость, антикомформизм мышления; учить учащихся корректировать свою деятельность в ходе урока; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли, задавать вопросы;

• воспитательная: формирование элементов социально-личностной компетентности на основе умения проектировать и осуществлять алгоритмическую и эвристическую деятельность, проверять и оценивать результаты деятельности; приучать к эстетическому оформлению записи в тетради, умению выслушивать других и умению общаться, прививать аккуратность и трудолюбие, продолжить формирование навыка работы с учебной литературой.

Приложение. Решение уравнений.

Решите уравнения:

1. х³ = 2-х;

2. ;

3. ;

4. 3^х + 5^х + 7^х = 15^х;

5. sin ^x 13 +cos ^x 13 =1;

6. 2^х+ 2^-х=;

7. π²+2(arcsin (-x))² + = -3 π arcsin (-x);

8. 

9. ;

Решение уравнения 1.

х³ = 2-х;

Аналогично домашней работе используем функциональный способ – применяем свойство монотон-ности функций:

f(x)= х³ степенная функция, возрастающая на D(f)=R;

g(x) = 2-х линейная функция, убывающая на D(f)=R, т.к. k=-1.

Таким образом, найденное подбором решение х = 1 – единственное.

Ответ: 1.

Решение уравнения 2.

Аналогично используем функциональный способ – применяем свойство монотонности функций:

f(x)= функция, возрастающая на D(f)=[-1;);

g(x) = линейная функция, убывающая на D(f)=R, т.к. k=-1.

Таким образом, найденное подбором решение х = 3 – единственное.

Ответ: 3.

Решение уравнения 3

Используем свойство монотонности функций: в левой части уравнения функция возрастающая как сумма возрастающих функций, в правой части - функция убывающая.

Таким образом, найденное подбором решение х = 9 – единственное.

Ответ: 9.

Решение уравнения 4.

3^х + 5^х + 7^х = 15^х;

Здесь тоже хочется использовать свойство монотонности функций, но в левой и в правой части функции возрастающие. Используем известный приём: разделим на 15^х0. (Вопрос учащимся – какое ещё свойство функции f(x)= 15^х здесь используется? Ответ: ограниченность снизу, 15^х>0).

Имеем

f(x) = функция убывающая на D(f)=R как сумма убывающих функций;

1 - константа.

Таким образом, найденное подбором решение х = 1– единственное. Ответ: 1.

Решение уравнения 5.

sin ^x13 +cos ^x 13 =1;

Рассмотрим функцию f(x)= sin ^x13 +cos ^x 13.

Если х<0, f(x)>1, корней нет.

Если х0, то f(x)= sin ^x13 +cos ^x 13 является убывающей функцией как сумма убывающих функций (т.к. 0 < sin 13 < 1, 0 < cos 13 < 1). В таком случае уравнение имеет единственный корень х=2, что следует из основного тригонометрического тождества.

Ответ: 2.

Решение уравнения 6.

2^х+ 2^-х=;

Функция f(x)= 2^х+ 2^-х ограниченная снизу согласно неравенству Коши: 2^х+ 2^-х2. Равенство f(x) двум имеет место при х=0.

Функция g(x)= ограниченная, т.к. | | 1.

Значит, равенство выполняется, если =1, , . Найденное ранее х=0 входит в данное множество решений.

Ответ: 0.

Решение уравнения 7.

π²+2(arcsin (-x))² + = -3 π arcsin (-x);

Пусть у = arcsin x, используем нечётность arcsin x,

тогда 2у² - 3 πу + π²=0,

откуда ,

, .

1) . Нет решений, так как .

2) . х=1.

Ответ: 1.

Решение уравнения 8.

Так как функции у=sinx, y=cosx ограничены сверху 1, уравнение равносильно системе

;

;

;

.

Данная система не имеет решений, что означает – исходное уравнение решения не имеет.

Ответ: решения нет.

Решение уравнения 9.

;

Очевидно, что x = 0, x =1, x = -1 являются корнями уравнения. для нахождения других корней уравнения в силу нечётности функции достаточно найти его решения в области x>0, x1, поскольку если х_о >0 является его решением, то и (-х_о) также является его решением.

;

;

• На промежутке (0;1) функция принимает только отрицательные значения, поскольку х³<х, а функция принимает только положительные значения. Значит, на (0;1) уравнение не имеет решений.

• На промежутке (1;+) функция принимает только положительные значения, а функция принимает значения разных знаков, причём на (1;2] функция неположительна. Значит, на (1;2] уравнениене имеет решений.

• На промежутке (2;+) функция ограничена, т.к..

• Докажем, что ограничена снизу, т.е. . Это означает, что и на промежутке (2;+) уравнение не имеет решений.

Итак, других корней, кроме x = 0, x =1, x = -1 нет.

Ответ: -1,0,1.