Артющенко Ирина Викторовна

Учитель первой категории

Амурская область

МБОУ Дугдинская СОШ

Математика (Геометрия, Л.С.Атанасян)

Урок «Объём пирамиды»

11 класс

Конспект урока по геометрии, проведённого в 11 классе

Учебник: Геометрия 10-11 классы, автор Л.С.Атанасян
Тема: Объём пирамиды.

Путь формирования понятий - дедуктивный
Цель: рассмотреть теорему об объеме пирамиды.

Задачи:

1. Учебно-познавательная – формирование навыков применения формулы объема пирамиды при решении задач на конструктивном уровне. 

2. Развивающая – развитие элементов анализа и синтеза; умение оценивать собственную деятельность, умение оперировать геометрическими понятиями.

3. Воспитательная – способствовать развитию устойчивого интереса к математике через применение информационно-коммуникационных технологий.

Ход урока.

1. Орг. момент.

2. Актуализация опорных знаний.

6 5 2 3

4 4 5

7 10 6

Рисунок Ж.1 - Найдите площади изображённых фигур

3. Постановка целей урока.

- Я прочту вам стихотворение Валерия Брюсова “Пирамида-треугольник”.

Я
еле
качая
веревки,
в синели,
не различая
синих тонов
и милой головки,
летаю в просторе
крылатый, как птица,
меж лиловых кустов!
Но в заманчивом взоре,
знаю блещет, алея, зарница!
И я счастлив ею без слов!

Я видел картину. На этой картине
Стоит пирамиды в песчаной пустыне
Все в пирамиде необычайно
Какая-то есть в ней загадка и тайна.

- О какой пирамиде в стихотворении идёт речь?

- Знаете ли вы, что:

• Высота (начальная): 146,60 м (по подсчетам) или 280 Королевских локтей (1 Королевский локоть = 52,920 см)

• Высота (сегодня): ≈ 138,75 м

• Площадь основания (изначально): ≈ 53 000 м² (5,3 га)

• Средняя масса каменных блоков: 2,5 т

• Самый тяжелый каменный блок: 15 т

• Количество блоков: около 2,5 млн.

• По подсчетам общий вес пирамиды: около 6,25 млн тонн.

• Общий объем пирамиды без вычета полостей внутри пирамиды (изначально): ≈ 2,58 млн м³.

• Общий объем пирамиды, после вычета всех известных полостей (изначально): 2,50 млн м³.

- Как вы думаете, изменился ли объём пирамиды на сегодняшний день? Почему?

- Как узнать?

- Определите цель нашего урока.

- Определите важность и значимость изучаемого материала.

4. Изучение нового.

- Докажем теорему.

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

1. Рассмотрим треугольную пирамиду OABC с объёмом V, площадью основания S и высотой h (рисунок 2).

О

h

A B

C

Рисунок Ж.2 - Изображение пирамиды

- Проведём ось Ох ( - высота), рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим через х абсциссу точки пересечения этой плоскости с осью Ох, а через S(x)- площадь сечения. Выразим S(x) через S, h, x.

-Что вы можете сказать о и ∆ АВС?

∆ ∞ ∆ АВС.

В самом деле , тогда ∆ ∞ ∆ОАВ следовательно, .

-Что вы можете сказать о ∆ и ∆ОА?

Прямоугольные треугольники тоже подобны (они имеют общий острый угол с вершиной О). Поэтому

Таким образом, .

Аналогично доказывается ; .

Итак, ∆ ∞ ∆АВС.

Следовательно, или .

Применяя теперь основную формулу для вычисления объёмов тел при a=0, b=h, получаем

2. Докажем теперь теорему для произвольной пирамиды с высотой h и площадью основания S.

Такую пирамиду можно разбить на треугольные пирамиды с общей высотой h. Выразим объём каждой треугольной пирамиды по доказанной нами формуле и сложим эти объёмы. Вынося за скобки общий множитель , получим в скобках сумму площадей оснований треугольных пирамид, то есть площадь основания исходной пирамиды. Таким образом, объём исходной пирамиды равен .

- Теперь вернёмся к пирамиде Хеопса. Как найти объём пирамиды на сегодняшний день?

- Какие из известных данных нам понадобятся?

-Изменился ли объём пирамиды? На сколько?

- Сформулируйте учебную задачу нашего урока.

- Ответьте, удалось ли нам решить её?

5. Закрепление изученного.

1. В правильной шестиугольной пирамиде сторона ее основания 2 см. Объем пирамиды равен 6 см³. Чему равна высота?

2. Объем пирамиды равен 56 см³, площадь основания 14 см^². Чему равна высота?

3. В правильной треугольной пирамиде высота равна 5 см, стороны основания 3 см. Чему равен объем пирамиды?

4. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 9 см. Сторона основания 4 см. Найдите объем пирамиды.

5. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 27 см³, высота 9 см. найти сторону основания.

6. Равновеликие призма и правильная четырехугольная пирамида имеют равные высоты. Чему равна сторона основания пирамиды, если площадь основания призмы равна S?

7. Дано: ABCDF- правильная пирамида, FO – высота, FCO=45˚, FO =2.

Найти: .

8. Дано: ABCDEKF- правильная пирамида, FO – высота, FM AK, FO =4, FM=5.

Найти: .

9. Дано: - ромб, : – пирамида, .

Найти:V.

VІ. Итог урока

- Какую учебную задачу мы решали на уроке?

- Определите свои затруднения во время урока.

- Поставьте учителю вопросы, которые у вас возникли во время урока.

- Оцените свою работу.

VІІ. Домашнее задание

П.69, №684(а), №686(а), №687.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Раздаточный материал для обучающихся

1. В правильной шестиугольной пирамиде сторона ее основания 2 см. Объем пирамиды равен 6 см³. Чему равна высота?

2. Объем пирамиды равен 56 см³, площадь основания 14 см^². Чему равна высота?

3. В правильной треугольной пирамиде высота равна 5 см, стороны основания 3 см. Чему равен объем пирамиды?

4. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 9 см. Сторона основания 4 см. Найдите объем пирамиды.

5. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 27 см³, высота 9 см. найти сторону основания.

6. Равновеликие призма и правильная четырехугольная пирамида имеют равные высоты. Чему равна сторона основания пирамиды, если площадь основания призмы равна S?

7. Дано: ABCDF- правильная пирамида, FO – высота, FCO=45˚, FO =2.

Найти: .

8. Дано: ABCDEKF- правильная пирамида, FO – высота, F AK, FO =4, FК=5.

Найти: .

9. Дано: - ромб, : – пирамида, .

Найти:V.

Тема урока: Объём пирамиды

- Прочитайте стихотворение.

- О какой пирамиде в стихотворении идёт речь?

Я
еле
качая
веревки,
в синели,
не различая
синих тонов
и милой головки,
летаю в просторе
крылатый, как птица,
меж лиловых кустов!
Но в заманчивом взоре,
знаю блещет, алея, зарница!
И я счастлив ею без слов!

Я видел картину. На этой картине
Стоит пирамида в песчаной пустыне
Всё в пирамиде необычайно
Какая-то есть в ней загадка и тайна.

(Валерий Брюсов

“Пирамида-треугольник”.

- Знаете ли вы, что:

• Высота (начальная): 146,60 м (по подсчетам) или 280 Королевских локтей (1 Королевский локоть = 52,920 см)

• Высота (сегодня): ≈ 138,75 м

• Площадь основания (изначально): ≈ 53 000 м² (5,3 га)

• Средняя масса каменных блоков: 2,5 т

• Самый тяжелый каменный блок: 15 т

• Количество блоков: около 2,5 млн.

• По подсчетам общий вес пирамиды: около 6,25 млн тонн.

• Общий объем пирамиды без вычета полостей внутри пирамиды (изначально): ≈ 2,58 млн м³.

• Общий объем пирамиды, после вычета всех известных полостей (изначально): 2,50 млн м³.